Графічне зображення рядів розподілу: полігон, гістограма. Показники центру розподілу, коливання ознаки

Нехай із генеральної сукупності вилучено вибірку, причому х 1 спостерігалося п 1 раз, х 2 - п 2 рази, х до - п дораз і – обсяг вибірки. Значення, що спостерігаються х 1 називають варіантами, а послідовність варіант, записаних у зростаючому порядку - Варіаційним рядом .

Число спостережень варіанти називають частотою, а її відношення до обсягу вибірки – відносною частотою.

Визначення. Статистичним (емпіричним) законом розподілу вибірки, або просто статистичним розподілом вибіркиназивають послідовність варіант та відповідних їм частот п iабо відносних частот.

Статистичне розподілення вибірки зручно представляти у формі таблиці розподілу частот, званої статистичним дискретним рядом розподілу:

(Сума всіх відносних частот дорівнює одиниці ).

Приклад 1. При вимірах в однорідних групах обстежуваних отримані такі вибірки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72,7 частота пульсу). Скласти за цими результатами статистичний ряд розподілу частот та відносних частот.

Рішення. 1) Статистичний ряд розподілу частот:

Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полігоном частотназивають ламану, відрізки, якою з'єднують точки Для побудови полігону частот на осі абсцис відкладають варіанти х 2 , але в осі ординат - відповідні їм частоти п i.Крапки з'єднують відрізками та отримують полігон частот.

Полігоном відносних частотназивають ламану, відрізки, якою з'єднують точки . Для побудови полігону відносних частот на осі абсцис відкладають варіанти х i , але в осі ординат відповідні їм частоти w i. Крапки з'єднують відрізками та отримують полігон відносних частот

приклад 2.Побудуйте полігон частот та полігон відносних частот за даними прикладу 1.

Рішення:Використовуючи дискретний статистичний ряд розподілу, складений у прикладі 1, побудуємо полігон частот і полігон відносних частот:

2. Статистичний інтервальний ряд розподілу. Гістограма.

Статистичним дискретним рядом (або емпіричною функцією розподілу) зазвичай користуються в тому випадку, коли відмінних один від одного варіант у вибірці не дуже багато, або тоді, коли дискретність з тих чи інших причин істотна для дослідника. Якщо ж ознака генеральної сукупності Х, що нас цікавить, розподілений безперервно або його дискретність недоцільно (або неможливо) враховувати, то варіанти групуються в інтервали.

Статистичне розподіл можна задати також як послідовності інтервалів і відповідних їм частот (як частоти, відповідної інтервалу, приймають суму частот, які у цей інтервал).

1. R(розмах) = X max -X min

2. k-кількість груп

3. (Формула Стерджеса)

4. a = x min, b = x max

Отримане угруповання зручно подати у формі частотної таблиці, яка носить назву статистичний інтервальний ряд розподілу:

Інтервали угруповання			...
Частоти			...

Аналогічну таблицю можна утворити, замінюючи частоти n iвідносними частотами.

Подаються у вигляді рядів розподілу та оформляються у вигляді.

Ряд розподілу одна із видів угруповань.

Ряд розподілу— є впорядкованим розподілом одиниць досліджуваної сукупності на групи за певною ознакою, що варіює.

Залежно від ознаки, покладеної в основу освіти, ряду розподілу розрізняють атрибутивні та варіаційніряди розподілу:

Атрибутивними- Називають ряди розподілу, побудовані за якісними ознаками.
Ряди розподілу, побудовані в порядку зростання або зменшення значень кількісної ознакиназиваються варіаційними.

Варіаційний ряд розподілу складається із двох стовпців:

У першому стовпці наводяться кількісні значення ознаки, що називаються, які називаються варіантамиі позначаються. Дискретна варіанта - виражається цілим числом. Інтервальний варіант знаходиться в межах від і до. Залежно від типу варіанти, можна побудувати дискретний або інтервальний варіаційний ряд.
У другому стовпці міститься кількість конкретних варіант, Виражене через частоти або частоти:

Частоти- Це абсолютні числа, що показують стільки разів у сукупності зустрічається дане значення ознаки, які позначають . Сума всіх частот дорівнює повинна дорівнювати чисельності одиниць всієї сукупності.

Частини() - Це частоти виражені у відсотках до підсумку. Сума всіх частостей виражених у відсотках повинна дорівнювати 100% у частках одиниці.

Графічне зображення рядів розподілу

Наочно ряди розподілу надаються за допомогою графічних зображень.

Ряди розподілу зображуються у вигляді:

Полігона
Гістограми
Кумуляти
Огіви

Полігон

При побудові полігону на горизонтальній осі (вісь абсцис) відкладають значення ознаки, що варіює, а на вертикальній осі (вісь ординат) — частоти або частоти.

Полігон на рис. 6.1 побудований за даними мікроперепису населення Росії у 1994 р.

6.1. Розподіл домогосподарств за розміром

Умова: Наводяться дані про розподіл 25 працівників одного з підприємств за тарифними розрядами:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Завдання: Побудувати дискретний варіаційний ряд та зобразити його графічно у вигляді полігону розподілу
Рішення:
У даному прикладіВипадками є тарифний розряд працівника. Для визначення частот необхідно розрахувати кількість працівників, які мають відповідний тарифний розряд.

Полігон використовують для дискретних варіаційних рядів.

Для побудови полігону розподілу (рис 1) по осі абсцис (X) відкладаємо кількісні значення ознаки, що варіює, - варіанти, а по осі ординат - частоти або частоти.

Якщо значення ознаки виражені як інтервалів, такий ряд називається інтервальним.
Інтервальні рядирозподіли зображують графічно у вигляді гістограми, кумуляти або огива.

Статистична таблиця

Умова: Наведено дані про розміри вкладів 20 фізичних осібв одному банку (тис.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Завдання: Побудувати інтервальний варіаційний ряд із рівними інтервалами.
Рішення:

Вихідна сукупність складається з 20 одиниць (N = 20).
За формулою Стерджеса визначимо необхідну кількість груп: n=1+3,322*lg20=5
Обчислимо величину рівного інтервалу: i = (152 - 2) / 5 = 30 тис.руб
Розчленуємо вихідну сукупність на 5 груп з величиною інтервалу в 30 тис. руб.
Результати угруповання подаємо у таблиці:

При такому записі безперервної ознаки, коли та сама величина зустрічається двічі (як верхня межа одного інтервалу і нижня межа іншого інтервалу), то ця величина відноситься до тієї групи, де ця величина виступає в ролі верхньої межі.

Гістограма

Для побудови гістограми по осі абсцис вказують значення меж інтервалів і на їх підставі будують прямокутники, висота яких пропорційна до частот (або частот).

На рис. 6.2. зображено гістограму розподілу населення Росії у 1997 р. за віковими групами.

Мал. 6.2. Розподіл населення Росії за віковими групами

Умова: Наводиться розподіл 30 працівників фірми за розміром місячної заробітної плати

Завдання: Зобразити інтервальний варіаційний ряд графічно у вигляді гістограми та кумуляти.
Рішення:

Невідома межа відкритого (першого) інтервалу визначається за величиною другого інтервалу: 7000 - 5000 = 2000 руб. З тією ж величиною знаходимо нижню межу першого інтервалу: 5000 - 2000 = 3000 руб.
Для побудови гістограми прямокутної системі координат по осі абсцис відкладаємо відрізки, величини яких відповідають інтервалам варицонного ряду.
Ці відрізки служать нижньою основою, а відповідна частота (частина) - висотою прямокутників, що утворюються.
Побудуємо гістограму:

Для побудови кумуляти необхідно розрахувати накопичені частоти (частини). Вони визначаються шляхом послідовного підсумовування частот (частин) попередніх інтервалів і позначаються S. Накопичені частоти показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше, ніж аналізоване.

Кумулята

Розподіл ознаки у варіаційному ряду за накопиченими частотами (частинами) зображується за допомогою кумуляти.

Кумулятаабо кумулятивна крива, на відміну від полігону, будується за накопиченими частотами або частотами. У цьому на осі абсцис поміщають значення ознаки, але в осі ординат — накопичені частоти чи частоти (рис. 6.3).

Мал. 6.3. Кумулята розподілу домогосподарств за розміром

4. Розрахуємо накопичені частоти:
Наколінна частота першого інтервалу розраховується так: 0 + 4 = 4, для другого: 4 + 12 = 16; для третього: 4+12+8=24 і т.д.

При побудові кумуляти накопичена частота (частина) відповідного інтервалу присвоюється його верхній межі:

Огіва

Огівабудується аналогічно кумуляті з тією різницею, що накопичені частоти поміщають на осі абсцис, а значення ознаки - на осі ординат.

Різновидом кумуляти є крива концентрації чи графік Лоренца. Для побудови кривої концентрації на обидві осі прямокутної системи координат наноситься масштабна шкала у відсотках від 0 до 100. При цьому осі абсцис вказують накопичені частоти, а на осі ординат - накопичені значення частки (у відсотках) за обсягом ознаки.

Рівномірному розподілу ознаки відповідає графік діагональ квадрата (рис. 6.4). При нерівномірному розподілі графік є увігнутою кривою залежно від рівня концентрації ознаки.

6.4. Крива концентрації

Полігон частот

Нехай нам дано ряд розподілу, записаний за допомогою таблиці:

Малюнок 1.

Визначення 1

Полігон частот- ламана, яка з'єднує точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots,m)$.

Тобто для побудови полігону частот необхідно на осі абсцис відкладають значення варіант, а по осі ординат відповідні частоти. Отримані точки з'єднують ламаною:

2. Полігон частот.

Крім звичайної частоти, існує ще поняття відносної частоти.

Отримуємо наступну таблицю розподілу відносних частот:

Малюнок 3.

Визначення 2

Полігон відносних частот- ламана, яка з'єднує точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,\dots,m)$.

Тобто для побудови полігону частот необхідно на осі абсцис відкладають значення варіант, а по осі ординат відповідні відносні частоти. Отримані точки з'єднують ламаною:

4. Полігон відносних частот.

Гістограма частот

Крім поняття полінома для безперервних значень, існує поняття гістограми.

Зауважимо, що площа такого прямокутника $\frac(n_ih)(h)=n_i$. Отже, площа всієї фігури дорівнює $ \ sum (n_i) = n $, тобто дорівнює обсягу вибірки.

Визначення 4

Гістограма відносних частот- ступінчаста фігура, що складається з прямокутників з основою - частковими інтервалами довжини $h$ і висотами $\frac(W_i)(h)$:

Рисунок 6. Гістограма відносних частот.

Зауважимо, що площа такого прямокутника $\frac(W_ih)(h)=W_i$. Отже, площа всієї фігури дорівнює $ \ sum (W_i) = W = 1 $.

Приклади завдання на побудову полігону та гістограми

Приклад 1

Нехай розподіл частот має вигляд:

Малюнок 7.

Побудувати полігон відносних частот.

Побудуємо спочатку ряд розподілу відносних частот за формулою $W_i=\frac(n_i)(n)$

Угруповання- Це розбиття сукупності на групи, однорідні за якоюсь ознакою.

Призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора Ви зможете:

побудувати варіаційний ряд, побудувати гістограму та полігон;
знайти показники варіації (середню, моду (в т.ч. і графічним способом), медіану, розмах варіації, квартилі, децилі, квартильний коефіцієнт диференціації, коефіцієнт варіації та інші показники);

Інструкція. Для групування ряду необхідно вибрати вид варіаційного ряду, що отримується (дискретний або інтервальний) і вказати кількість даних (кількість рядків). Отримане рішення зберігається в файлі Word(Див. приклад угруповання статистичних даних).

Якщо угруповання вже здійснено та задані дискретний варіаційний рядабо інтервальний ряд, то необхідно скористатися онлайн-калькулятором Показники варіації. Перевірка гіпотези про вид розподілупроводиться за допомогою сервісу Вивчення форми розподілу.

Види статистичних угруповань

Варіаційний ряд. У разі спостережень дискретної випадкової величини те саме значення можна зустріти кілька разів. Такі значення x i випадкової величини записують із зазначенням n i числа разів його появи в n спостереженнях, і є частота даного значення.
У разі безперервної випадкової величини практично застосовують угруповання.

Типологічне угруповання- Це поділ досліджуваної якісно різнорідної сукупності на класи, соціально-економічні типи, однорідні групи одиниць. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Дискретний варіаційний ряд.
Структурним називається угруповання, в якій відбувається поділ однорідної сукупності на групи, що характеризують її структуру за якою-небудь ознакою, що варіює. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Інтервальний ряд.
Угруповання, що виявляє взаємозв'язки між досліджуваними явищами та їх ознаками, називається аналітичним угрупованням(Див. аналітичне угруповання ряду).

Приклад №1. За даними таблиці 2 побудуйте ряди розподілу по 40 комерційних банків РФ. За отриманими рядами розподілу визначте: прибуток у середньому однією комерційний банк, кредитні вкладення загалом однією комерційний банк, модальне і медіанне значення прибутку; квартилі, децили, розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Рішення:
В розділі «Вигляд статистичного ряду»обираємо Дискретний ряд. Натискаємо Вставити з Excel. Кількість груп: за формулою Стерджесса

Принципи побудови статистичних угруповань

Ряд спостережень, упорядкованих за зростанням, називається варіаційним рядом. Групувальною ознакоюназивається ознака, яким виробляється розбивка сукупності деякі групи. Його називають основою угруповання. В основі угруповання можуть бути покладені як кількісні, так і якісні ознаки.
Після визначення підстави угруповання слід вирішити питання кількості груп, куди треба розбити досліджувану сукупність.

При використанні персональних комп'ютерівДля обробки статистичних даних угруповання одиниць об'єкта здійснюється за допомогою стандартних процедур.
Одна з таких процедур базується на використанні формули Стерджесу для визначення оптимальної кількості груп:

k = 1+3,322*lg(N)

Де k – кількість груп, N – число одиниць сукупності.

Довжину часткових інтервалів обчислюють як h=(x max -x min)/k

Потім підраховують числа попадань спостережень у ці інтервали, які приймають за частоти n i . Нечисленні частоти, значення яких менше 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В якості нових значень варіант беруть середини інтервалів x i = (c i-1 + c i) /2.

Приклад №3. В результаті 5% власно-випадкової вибірки отримано наступний розподіл виробів за вмістом вологи. Розрахуйте: 1) середній відсоток вологості; 2) показники, що характеризують варіацію вологості.
Рішення отримано за допомогою калькулятора: Приклад №1

Побудувати варіаційний ряд. Знайденим рядом побудувати полігон розподілу, гістограму, кумуляту. Визначити моду та медіану.
Завантажити рішення

приклад. За результатами вибіркового спостереження (вибірка А додаток):
а) складіть варіаційний ряд;
б) обчисліть відносні частоти та накопичені відносні частоти;
в) збудуйте полігон;
г) складіть емпіричну функцію розподілу;
буд) побудуйте графік емпіричної функції розподілу;
е) обчисліть числові характеристики: середнє арифметичне, дисперсію, середнє відхилення квадратичне. Рішення

На основі даних, наведених у Таблиці 4 (Додаток 1) та відповідних Вашому варіанту, виконати:

На основі структурного угруповання побудувати варіаційний частотний та кумулятивний ряди розподілу, використовуючи рівні закриті інтервали, прийнявши число груп рівним 6. Результати подати у вигляді таблиці та зобразити графічно.
Проаналізувати варіаційний ряд розподілу, обчисливши:
- середнє арифметичне значення ознаки;
- моду, медіану, перший квартиль, перший і дев'ятий дециль;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.

Потрібно: ранжувати ряд, побудувати інтервальний ряд розподілу, обчислити середнє значення, коливання середнього значення, моду та медіану для ранжованого та інтервального рядів.

На основі вихідних даних побудувати дискретний варіаційний ряд; подати його у вигляді статистичної таблиці та статистичних графіків. 2). На основі вихідних даних побудувати інтервальний варіаційний ряд із рівними інтервалами. Число інтервалів вибрати самостійно та пояснити цей вибір. Подати отриманий варіаційний ряд у вигляді статистичної таблиці та статистичних графіків. Вказати види застосованих таблиць та графіків.

З метою визначення середньої тривалості обслуговування клієнтів у пенсійному фонді, кількість клієнтів якого є дуже великою, за схемою власне-випадкової безповторної вибірки проведено обстеження 100 клієнтів. Результати обстеження представлені у таблиці. Знайти:
а) межі, у яких із ймовірністю 0.9946 укладено середній час обслуговування всіх клієнтів пенсійного фонду;
б) ймовірність того, що частка всіх клієнтів фонду з тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці не більше ніж на 10% (за абсолютною величиною);
в) обсяг повторної вибірки, у якому з ймовірністю 0.9907 можна стверджувати, частка всіх клієнтів фонду із тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці лише на 10% (за абсолютною величиною).
2. За даними завдання 1, використовуючи X 2 критерій Пірсона, лише на рівні значимості α = 0,05 перевірити гіпотезу у тому, що випадкова величина Х – час обслуговування клієнтів – розподілено за нормальним законом. Побудувати на одному кресленні гістограму емпіричного розподілу та відповідну нормальну криву.
Завантажити рішення

Дано вибірку зі 100 елементів. Необхідно:

Побудувати ранжований варіаційний ряд;
Знайти максимальний та мінімальний члени ряду;
Знайти розмах варіації та кількість оптимальних проміжків для побудови інтервального ряду. Знайти довжину проміжку інтервального ряду;
Побудувати інтервальний ряд. Знайти частоти потрапляння елементів вибірки до складених проміжків. Знайти середні точки кожного проміжку;
Побудувати гістограму та полігон частот. Порівняти з нормальним розподілом (аналітично та графічно);
Побудувати графік емпіричної функції розподілу;
Розрахувати вибіркові числові характеристики: вибіркове середнє та центральний вибірковий момент;
Розрахувати наближені значення середнього квадратичного відхилення, асиметрії та ексцесу (користуючись пакетом аналізу MS Excel). Порівняти наближені розрахункові значення з точними (розраховані за формулами MS Excel);
Порівняти вибіркові графічні характеристики із відповідними теоретичними.

Завантажити рішення

Є такі вибіркові дані (вибірка 10%-ная, механічна) про випускати продукцію і суму прибутку, млн. крб. За вихідними даними:
Завдання 13.1.
13.1.1. Побудуйте статистичний ряд розподілу підприємств за сумою прибутку, утворивши п'ять груп із рівними інтервалами. Побудуйте графіки ряду розподілу.
13.1.2. Розрахуйте числові характеристики ряду розподілу підприємств за сумою прибутку: середню арифметичну, середнє відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації V. Зробіть висновки.
Завдання 13.2.
13.2.1. Визначте межі, в яких із ймовірністю 0.997 укладено суму прибутку одного підприємства в генеральній сукупності.
13.2.2. Використовуючи x2-критерій Пірсона , при рівні значимості α перевірити гіпотезу у тому, що випадкова величина X – сума прибутку – розподілено за нормальним законом.
Завдання 13.3.
13.3.1. Визначте коефіцієнти вибіркового рівняння регресії.
13.3.2. Встановіть наявність та характер кореляційного зв'язку між вартістю виробленої продукції (X) та сумою прибутку на одне підприємство (Y). Побудуйте діаграму розсіювання та лінію регресії.
13.3.3. Розрахуйте лінійний коефіцієнт кореляції. Використовуючи t-критерій Стьюдента, перевірте значення коефіцієнта кореляції. Зробіть висновок про тісноту зв'язку між факторами X та Y, використовуючи шкалу Чеддока.
Методичні рекомендації. Завдання 13.3 виконується за допомогою цього сервісу.
Завантажити рішення

Завдання. Наступні дані є витрати часу клієнтів на укладення договорів. Побудувати інтервальний варіаційний ряд представлених даних, гістограму, знайти незміщену оцінку математичного очікування, зміщену та незміщену оцінку дисперсії.

Приклад. За даними таблиці 2:
1) Побудуйте ряди розподілу по 40 комерційних банків РФ:
а) за величиною прибутку;
б) за величиною кредитних вкладень.
2) За отриманими рядами розподілу визначте:
а) прибуток у середньому однією комерційний банк;
Б) кредитні вкладення загалом однією комерційний банк;
В) модальне та медіанне значення прибутку; квартили, децилі;
Г) модальне та медіанне значення кредитних вкладень.
3) За отриманими у п. 1 рядах розподілу розрахуйте:
а) розмах варіації;
б) середнє лінійне відхилення;
в) середнє квадратичне відхилення;
г) коефіцієнт варіації.
Необхідні розрахунки оформіть у табличній формі. Результати проаналізуйте. Зробіть висновки.
Побудуйте графіки одержаних рядів розподілу. Графічно визначте моду та медіану.

Рішення:
Для побудови угруповання з рівними інтервалами скористаємося сервісом Угруповання статистичних даних.

Рисунок 1 – Введення параметрів

Опис параметрів
Кількість рядків: кількість вихідних даних. Якщо розмірність ряду невелика, вкажіть його кількість. Якщо вибірка досить об'ємна, натисніть кнопку Вставити з Excel .
Кількість груп: 0 – число груп визначатиметься за формулою Стерджесса.
Якщо вказано конкретну кількість груп, вкажіть її (наприклад, 5).
Вид ряду: Дискретний ряд
Рівень значущості: наприклад, 0.954 . Цей параметр визначається для визначення довірчого інтервалу середнього значення.
Вибірка: Наприклад, проведена 10%-на механічна вибірка. Вказуємо число 10 . Для даних вказуємо 100 .

Для наочності будують різні графіки статистичного розподілу, зокрема, полігон та гістограму.

Визначення. Полігономчастот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки (x 1, n 1), (x 2, n 2), …, (x k, n k).

Для побудови полігону частот осі абсцис відкладають варіанти x i , але в осі ординат – відповідні їм частоти n i . Точки (x i , ni) з'єднують відрізками прямих і отримують полігон частот.

Визначення. Полігоном відносних частотназивають ламану, відрізки якої з'єднують точки (x1, w1), (x2, w2), …, (xk, wk).

Для побудови полігону частот осі абсцис відкладають варіанти x i , але в осі ординат w i . Крапки (x i , w i) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон відносних частот.

На малюнку зображено полігон відносних частот наступного розподілу:

Мал. 6. Полігон відносних частот.

У разі безперервної ознаки доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, в якому укладені всі значення ознаки, що спостерігаються, розбивають на кілька часткових інтервалів довгою h і знаходять для кожного часткового інтервалу n i – суму частот варіант, що потрапили в i-ий інтервал.

Визначення. Гістограмою частотназивають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти рівні відношенню (щільність частоти).

Мал. 7. Гістограма частот.

Для побудови гістограми частот осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис, на відстані .

Площа i-го часткового прямокутника дорівнює = сумі частот варіантi-го інтервалу; отже, площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто обсяг вибірки n.

На малюнку 2 зображено гістограму частот розподілу об'єму n=100, наведеного у таблиці 1.

Частковий інтервал, довжиною h = 5		Щільність частоти

Визначення. Гістограмою відносних частотназивають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти рівні відношенню (щільність відносної частоти).

Для побудови гістограми відносних частот осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані . Площа i-го часткового прямокутника дорівнює = - відносній частоті варіант, що потрапили в i-й інтервал. Отже, площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.

В результаті вибірки отримано наступну таблицю розподілу частот.