Iš vieno ss į kitą. Konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Galite įvesti ir sveikuosius skaičius, pavyzdžiui, 34, ir trupmeninius skaičius, pavyzdžiui, 637,333. Trupmeninių skaičių atveju nurodomas vertimo tikslumas po kablelio.
Su šiuo skaičiuotuvu taip pat naudojami šie dalykai:
Skaičių vaizdavimo būdai
Dvejetainis (dvejetainiai) skaičiai - kiekvienas skaitmuo reiškia vieno bito reikšmę (0 arba 1), kairėje visada rašomas reikšmingiausias bitas, po skaičiaus dedama raidė „b“. Kad būtų lengviau suvokti, sąsiuvinius galima atskirti tarpais. Pavyzdžiui, 1010 0101b.Šešioliktainis (šešioliktainiai) skaičiai – kiekviena tetrada vaizduojama vienu simboliu 0...9, A, B, ..., F. Šis vaizdavimas gali būti žymimas įvairiais būdais, čia tik simbolis „h“ naudojamas po paskutinio šešioliktainio skaičiaus skaitmenų. Pavyzdžiui, A5h. Programų tekstuose tas pats skaičius gali būti pažymėtas kaip 0xA5 arba 0A5h, priklausomai nuo programavimo kalbos sintaksės. Reikšmingiausio šešioliktainio skaitmens, kurį žymi raidė, kairėje pridedamas priešakinis nulis (0), kad būtų galima atskirti skaičius ir simbolinius pavadinimus.
Dešimtainė (dešimtainiai) skaičiai - kiekvienas baitas (žodis, dvigubas žodis) yra pavaizduotas įprastu skaičiumi, o dešimtainio vaizdavimo ženklas (raidė „d“) paprastai praleidžiamas. Ankstesniuose pavyzdžiuose pateikto baito dešimtainė reikšmė yra 165. Skirtingai nuo dvejetainių ir šešioliktainių ženklų, dešimtainės dalies sunku mintyse nustatyti kiekvieno bito reikšmę, o tai kartais būtina.
aštuntainis (aštuontainiai) skaičiai – kiekvienas bitų trigubas (dalyba prasideda nuo mažiausiai reikšmingo) rašomas kaip skaičius nuo 0 iki 7, su „o“ pabaigoje. Tas pats skaičius būtų parašytas kaip 245o. Aštuontainė sistema yra nepatogi, nes baitas negali būti padalintas po lygiai.
Skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą algoritmas
Visi dešimtainiai skaičiai konvertuojami į bet kurią kitą skaičių sistemą, skaičių dalijant iš naujos skaičių sistemos pagrindo, kol liekana lieka mažesniu skaičiumi nei naujosios skaičių sistemos bazė. Naujas skaičius rašomas kaip padalijimo likučiai, pradedant nuo paskutinio.Įprastos dešimtainės trupmenos konvertavimas į kitą PSS atliekamas tik trupmeninę skaičiaus dalį padauginus iš naujos skaičių sistemos pagrindo, kol trupmeninėje dalyje liks visi nuliai arba kol pasiekiamas nurodytas vertimo tikslumas. Po kiekvienos daugybos operacijos susidaro vienas naujo skaičiaus skaitmuo, pradedant nuo didžiausio.
Netinkamas trupmenų vertimas atliekamas pagal 1 ir 2 taisykles. Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys rašomos kartu, atskirtos kableliu.
1 pavyzdys. 
Konvertavimas iš 2 į 8 į 16 skaičių sistemą.
Šios sistemos yra dviejų kartotiniai, todėl vertimas atliekamas naudojant atitikmenų lentelę (žr. toliau).
Norint konvertuoti skaičių iš dvejetainės skaičių sistemos į aštuntainę (šešioliktainę) skaičių sistemą, dvejetainį skaičių nuo kablelio į dešinę ir į kairę reikia padalyti į trijų (šešioliktainių) skaitmenų grupes, papildant išorines grupes. jei reikia, su nuliais. Kiekviena grupė pakeičiama atitinkamu aštuntainiu arba šešioliktainiu skaitmeniu.
2 pavyzdys. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
čia 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Konvertuodami į šešioliktainę sistemą, turite padalyti skaičių į keturių skaitmenų dalis, vadovaudamiesi tomis pačiomis taisyklėmis.
3 pavyzdys. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
čia 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Skaičių iš 2, 8 ir 16 konvertavimas į dešimtainę sistemą atliekamas skaičių suskaidant į atskirus ir padauginus iš sistemos bazės (iš kurios verčiamas skaičius), pakeltos iki laipsnio, atitinkančio jo eilės numerį konvertuojamas skaičius. Šiuo atveju skaičiai numeruojami kairėje nuo kablelio (pirmasis skaičius yra 0) didėjant, o dešinėje - mažėjant (t. y. su neigiamu ženklu). Gauti rezultatai sumuojami.
4 pavyzdys.
Konvertavimo iš dvejetainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys.
1010010.101 2 = 1,2 6 +0,2 5 +1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +0,2 0 + 1,2 -1 +0,2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Konvertavimo iš aštuntainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Šešioliktainės skaičių sistemos konvertavimo į dešimtainę pavyzdys. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10
Dar kartą pakartojame skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą PSS algoritmą
- Iš dešimtainių skaičių sistemos:
- skaičių padalinkite iš verčiamos skaičių sistemos pagrindo;
- dalijant sveikąją skaičiaus dalį rasti likutį;
- surašykite visus dalybos likučius atvirkštine tvarka;
- Iš dvejetainių skaičių sistemos
- Norint konvertuoti į dešimtainę skaičių sistemą, reikia rasti 2 bazės sandaugų sumą pagal atitinkamą skaitmens laipsnį;
- Norėdami konvertuoti skaičių į aštuntąją, turite suskaidyti skaičių į triadas.
Pavyzdžiui, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainio į šešioliktainį, turite skaičių padalyti į 4 skaitmenų grupes.
Pavyzdžiui, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Skaičių sistemos atitikmenų lentelė:
| Dvejetainis SS | Šešioliktainis SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Lentelė konvertavimui į aštuntainių skaičių sistemą
2 pavyzdys. Konvertuokite skaičių 100.12 iš dešimtainių skaičių sistemos į aštuntainių skaičių sistemą ir atvirkščiai. Paaiškinkite neatitikimų priežastis.
Sprendimas.
1 etapas. .
Likusią padalijimo dalį rašome atvirkštine tvarka. Gauname skaičių 8-oje skaičių sistemoje: 144
100 = 144 8
Norėdami paversti trupmeninę skaičiaus dalį, trupmeninę dalį nuosekliai dauginame iš bazės 8. Dėl to kiekvieną kartą užrašome visą sandaugos dalį.
0,12*8 = 0,96 (sveikasis skaičius 0
)
0,96*8 = 7,68 (sveikasis skaičius 7
)
0,68*8 = 5,44 (sveikasis skaičius 5
)
0,44*8 = 3,52 (sveikasis skaičius 3
)
Gauname numerį 8-oje skaičių sistemoje: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 etapas. Skaičių konvertavimas iš dešimtainių skaičių sistemos į aštuntainių skaičių sistemą.
Atvirkštinis konvertavimas iš aštuntainių skaičių sistemos į dešimtainę.
Norėdami išversti sveikojo skaičiaus dalį, turite padauginti skaičiaus skaitmenį iš atitinkamo skaitmens laipsnio.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Norėdami konvertuoti trupmeninę dalį, turite padalyti skaičiaus skaitmenį iš atitinkamo skaitmens laipsnio
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Skirtumas 0,0001 (100,12 - 100,1199) paaiškinamas apvalinimo klaida konvertuojant į aštuntainių skaičių sistemą. Šią klaidą galima sumažinti, jei imsite didesnį skaičių skaitmenų (pavyzdžiui, ne 4, o 8).
Laikantieji vieningą valstybinį egzaminą ir dar daugiau...
Keista, kad informatikos pamokose mokyklose dažniausiai mokiniams parodomas sudėtingiausias ir nepatogiausias būdas konvertuoti skaičius iš vienos sistemos į kitą. Šis metodas susideda iš nuoseklaus pradinio skaičiaus padalijimo iš pagrindo ir likučių surinkimo iš padalijimo atvirkštine tvarka.
Pavyzdžiui, jums reikia konvertuoti skaičių 810 10 į dvejetainį:
Rezultatą rašome atvirkštine tvarka iš apačios į viršų. Pasirodo, 81010 = 11001010102
Jei reikia paversti gana didelius skaičius į dvejetainę sistemą, tada padalijimo kopėčios įgauna kelių aukštų pastato dydį. O kaip galima surinkti visus vienetus ir nulius ir nepraleisti nė vieno?
Vieningo valstybinio informatikos egzamino programa apima keletą užduočių, susijusių su skaičių konvertavimu iš vienos sistemos į kitą. Paprastai tai konvertuojama tarp aštuntainės ir šešioliktainės sistemos bei dvejetainės. Tai A1, B11 skyriai. Tačiau yra problemų ir su kitomis skaičių sistemomis, pavyzdžiui, B7 skyriuje.
Pirmiausia prisiminkime dvi lenteles, kurias būtų gera mintinai žinoti tiems, kurie renkasi informatiką kaip savo būsimą profesiją.
Skaičiaus 2 galių lentelė:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Jį lengva gauti padauginus ankstesnį skaičių iš 2. Taigi, jei neatsimenate visų šių skaičių, likusius nesunku mintyse gauti iš tų, kuriuos prisimenate.
Dvejetainių skaičių nuo 0 iki 15 lentelė su šešioliktaine išraiška:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Trūkstamas reikšmes taip pat lengva apskaičiuoti prie žinomų verčių pridedant 1.
Sveikųjų skaičių konvertavimas
Taigi, pradėkime nuo konvertavimo tiesiai į dvejetainę sistemą. Paimkime tą patį skaičių 810 10. Turime išskaidyti šį skaičių į terminus, lygius dviejų laipsniams.
- Ieškome dviejų arčiausiai 810 ir jo neviršijančių galios. Tai yra 2 9 = 512.
- Iš 810 atimkite 512 ir gausime 298.
- Kartokite 1 ir 2 veiksmus, kol neliks 1 ar 0.
- Gavome taip: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
1 būdas: Išdėstykite 1 pagal terminų rodiklių skaitmenis. Mūsų pavyzdyje tai yra 9, 8, 5, 3 ir 1. Likusiose vietose bus nuliai. Taigi, gavome dvejetainį skaičių 810 10 = 1100101010 2. Vienetai dedami į 9, 8, 5, 3 ir 1 vietas, skaičiuojant iš dešinės į kairę nuo nulio.
2 būdas: Parašykime terminus kaip dviejų laipsnius vienas po kito, pradedant nuo didžiausio.
810 =
Dabar sudėkite šiuos veiksmus, pavyzdžiui, ventiliatoriaus sulankstymą: 1100101010.
Tai viskas. Tuo pačiu metu taip pat tiesiog išspręsta problema „kiek vienetų yra dvejetainiame skaičiaus 810 žymėjime?
Atsakymas yra tiek, kiek šiame vaizde yra terminų (dviejų galių). 810 turi 5 iš jų.
Dabar pavyzdys paprastesnis.
Paverskime skaičių 63 į 5-ių skaičių sistemą. Artimiausia galia nuo 5 iki 63 yra 25 (5 kvadratas). Kubas (125) jau bus daug. Tai yra, 63 yra tarp kvadrato iš 5 ir kubo. Tada parinksime koeficientą 5 2. Tai yra 2.
Gauname 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Ir galiausiai labai paprasti vertimai tarp 8 ir šešioliktainių sistemų. Kadangi jų bazė yra dviejų laipsnis, vertimas atliekamas automatiškai, tiesiog pakeičiant skaičius jų dvejetainiu vaizdu. Aštuontainėje sistemoje kiekvienas skaitmuo pakeičiamas trimis dvejetainiais skaitmenimis, o šešioliktainėje sistemoje – keturiais. Šiuo atveju privalomi visi pirmieji nuliai, išskyrus reikšmingiausią skaitmenį.
Paverskime skaičių 547 8 į dvejetainį.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Dar vienas, pavyzdžiui, 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Paverskime skaičių 7368 į šešioliktainę sistemą. Pirmiausia skaičius surašykite trigubais, o tada nuo galo padalinkite į keturgubus: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Paverskime skaičių C25 16 į aštuntainę sistemą. Pirmiausia skaičius surašome keturiais, o po to nuo galo padalijame juos į tris: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Dabar pažiūrėkime, kaip konvertuoti atgal į dešimtainę. Tai nėra sunku, svarbiausia nepadaryti klaidų skaičiavimuose. Išplečiame skaičių į daugianarį su bazės laipsniais ir jų koeficientais. Tada viską padauginame ir pridedame. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .
Neigiamų skaičių konvertavimas
Čia reikia atsižvelgti į tai, kad skaičius bus pateiktas dviejų komplemento kodu. Norėdami konvertuoti skaičių į papildomą kodą, turite žinoti galutinį skaičiaus dydį, tai yra, į ką norime jį sutalpinti – baite, dviem baitais, keturiais. Reikšmingiausias skaičiaus skaitmuo reiškia ženklą. Jei yra 0, tada skaičius yra teigiamas, jei 1, tada jis yra neigiamas. Kairėje pusėje skaičius papildomas ženkliniu skaitmeniu. Nežymių skaičių nelaikome, jie visada yra teigiami, o reikšmingiausias bitas juose naudojamas kaip informacija.
Norėdami konvertuoti neigiamą skaičių į dvejetainį papildinį, turite konvertuoti teigiamą skaičių į dvejetainį, tada pakeisti nulius į vienetus, o vienetus į nulius. Tada prie rezultato pridėkite 1.
Taigi, paverskime skaičių -79 į dvejetainę sistemą. Skaičius užims vieną baitą.
79 konvertuojame į dvejetainę sistemą, 79 = 1001111. Prie baito dydžio pridedame nulius kairėje, 8 bitai, gauname 01001111. 1 keičiame į 0 ir 0 į 1. Gauname 10110000. Prie 1 pridedame Rezultatą gauname atsakymą 10110001. Pakeliui atsakome į vieningo valstybinio egzamino klausimą „kiek vienetų yra dvejetainiame skaičiaus -79 atvaizde? Atsakymas yra 4.
Pridėjus 1 prie atvirkštinio skaičiaus, pašalinamas skirtumas tarp atvaizdų +0 = 00000000 ir -0 = 11111111. Dviejų komplemento kode jie bus parašyti taip pat, kaip 00000000.
Trupmeninių skaičių konvertavimas
Trupmeniniai skaičiai konvertuojami atvirkštiniu būdu sveikuosius skaičius dalijant iš bazės, į kurią žiūrėjome pačioje pradžioje. Tai yra, naudojant nuoseklųjį dauginimą iš naujos bazės su ištisų dalių rinkimu. Daugybos metu gautos sveikosios dalys yra renkamos, bet nedalyvauja šiose operacijose. Dauginamos tik trupmenos. Jei pradinis skaičius yra didesnis nei 1, sveikoji ir trupmeninė dalys verčiamos atskirai ir tada suklijuojamos.
Paverskime skaičių 0,6752 į dvejetainę sistemą.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Procesą galima tęsti ilgą laiką, kol trupmeninėje dalyje gausime visus nulius arba bus pasiektas reikiamas tikslumas. Kol kas sustokime ties 6 ženklu.
Pasirodo, 0,6752 = 0,101011.
Jei skaičius buvo 5,6752, tada dvejetainiu būdu jis bus 101,101011.
Skaičiuoklė leidžia konvertuoti sveikuosius ir trupmeninius skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą. Skaičių sistemos pagrindas negali būti mažesnis nei 2 ir didesnis nei 36 (juk 10 skaitmenų ir 26 lotyniškos raidės). Skaičių ilgis neturi viršyti 30 simbolių. Norėdami įvesti trupmeninius skaičius, naudokite simbolį. arba,. Norėdami konvertuoti skaičių iš vienos sistemos į kitą, pirmame lauke įveskite pradinį skaičių, antrame – pradinės skaičių sistemos pagrindą, o trečiame lauke – skaičių sistemos, į kurią norite konvertuoti skaičių, bazę, tada spustelėkite mygtuką „Gauti įrašą“.
Originalus numeris parašyta 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 - numerių sistema.
Noriu įrašyti numerį 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - numerių sistema.
Gaukite įėjimą
Vertimai baigti: 3036712
Jus taip pat gali sudominti:
- Tiesos lentelės skaičiuoklė. SDNF. SKNF. Zhegalkin daugianario
Skaičių sistemos
Skaičių sistemos skirstomos į du tipus: pozicinis Ir ne pozicinis. Mes naudojame arabišką sistemą, ji yra pozicinė, bet yra ir romėniška sistema – ji nėra pozicinė. Padėties sistemose skaitmens padėtis skaičiuje vienareikšmiškai lemia to skaičiaus reikšmę. Tai lengva suprasti pažvelgus į kokį nors skaičių kaip pavyzdį.
1 pavyzdys. Paimkime skaičių 5921 dešimtainėje skaičių sistemoje. Sunumeruokime skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:
Skaičius 5921 gali būti parašytas tokia forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Skaičius 10 yra charakteristika, nusakanti skaičių sistemą. Tam tikro skaičiaus padėties reikšmės laikomos galiomis.
2 pavyzdys. Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1234.567. Sunumeruokime jį nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir dešinę:
Skaičius 1234,567 gali būti parašytas tokia forma: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6 · 10 -2 +7 · 10 -3 .
Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Paprasčiausias būdas konvertuoti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą – pirmiausia konvertuoti skaičių į dešimtainę skaičių sistemą, o tada gautą rezultatą į reikiamą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičių iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę, užtenka sunumeruoti jo skaitmenis, pradedant nuo nulio (skaitmuo, esantis kairėje nuo kablelio) panašiai kaip 1 arba 2 pavyzdžiuose. Raskime skaitmenų sandaugų sumą. skaičiaus pagal skaičių sistemos pagrindą iki šio skaitmens padėties laipsnio:
1.
Konvertuokite skaičių 1001101.1101 2 į dešimtainę skaičių sistemą.
Sprendimas: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Atsakymas: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Konvertuokite skaičių E8F.2D 16 į dešimtainę skaičių sistemą.
Sprendimas: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Atsakymas: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, sveikoji ir trupmeninė skaičiaus dalys turi būti konvertuojamos atskirai.
Sveikosios skaičiaus dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Sveikoji dalis paverčiama iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą nuosekliai dalijant sveikąją skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo, kol gaunama visa liekana, mažesnė už skaičių sistemos bazę. Vertimo rezultatas bus likusios dalies įrašas, pradedant nuo paskutinio.
3.
Konvertuokite skaičių 273 10 į aštuntainių skaičių sistemą.
Sprendimas: 273 / 8 = 34 ir liekana 1. 34 / 8 = 4 ir likusioji dalis 2. 4 yra mažesnė nei 8, todėl skaičiavimas baigtas. Įrašas iš likučių atrodys taip: 421
Apžiūra: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatas toks pat. Tai reiškia, kad vertimas atliktas teisingai.
Atsakymas: 273 10 = 421 8
Panagrinėkime taisyklingųjų dešimtainių trupmenų vertimą į įvairias skaičių sistemas.
Skaičiaus trupmeninės dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Prisiminkite, kad vadinama tinkama dešimtainė trupmena realusis skaičius su nuline sveikojo skaičiaus dalimi. Norint konvertuoti tokį skaičių į skaičių sistemą su baze N, reikia skaičių nuosekliai padauginti iš N, kol trupmeninė dalis pasieks nulį arba bus gautas reikiamas skaitmenų skaičius. Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, tada į sveikąją dalį toliau neatsižvelgiama, nes ji nuosekliai įvedama į rezultatą.
4.
Konvertuokite skaičių 0,125 10 į dvejetainę skaičių sistemą.
Sprendimas: 0,125 · 2 = 0,25 (0 yra sveikoji dalis, kuri taps pirmuoju rezultato skaitmeniu), 0,25 · 2 = 0,5 (0 yra antrasis rezultato skaitmuo), 0,5 · 2 = 1,0 (1 yra trečias skaitmuo rezultato, o kadangi trupmeninė dalis yra lygi nuliui , tada vertimas baigtas).
Atsakymas: 0.125 10 = 0.001 2
Žmonės ne iš karto išmoko skaičiuoti. Pirmykštė visuomenė orientavosi į nedidelį objektų skaičių – vieną ar du. Viskas, kas didesnė, pagal numatytuosius nustatymus buvo vadinama „daug“. Tai yra laikoma šiuolaikinės skaičių sistemos pradžia.
Trumpas istorinis fonas
Civilizacijos raidos procese žmonės pradėjo jausti poreikį atskirti mažas objektų kolekcijas, kurias vienija bendri bruožai. Pradėjo atsirasti atitinkamos sąvokos: „trys“, „keturi“ ir taip toliau iki „septynių“. Tačiau tai buvo uždara, ribota serija, paskutinė koncepcija, kurioje ir toliau nešė ankstesnių „daugelio“ semantinį krūvį. Ryškus to pavyzdys – tautosaka, atėjusi pas mus originalia forma (pavyzdžiui, patarlė „Septynis kartus pamatyk, vieną kartą nukirpk“).
Sudėtingų skaičiavimo metodų atsiradimas
Laikui bėgant gyvenimas ir visi žmogaus veiklos procesai tapo sudėtingesni. Tai savo ruožtu lėmė sudėtingesnės skaičių sistemos atsiradimą. Tuo pačiu metu žmonės naudojo paprasčiausius skaičiavimo įrankius, kad būtų aiškesnė išraiška. Juos rado aplinkui: improvizuotomis priemonėmis ant olos sienų piešė pagaliukus, darė įpjovas, iš pagaliukų ir akmenų išdėliojo juos dominančius numerius – tai tik mažas anuomet egzistavusios įvairovės sąrašas. Vėliau šiuolaikiniai mokslininkai šiam tipui suteikė unikalų pavadinimą „viena skaičiavimo sistema“. Jo esmė yra parašyti skaičių naudojant vieno tipo simbolį. Šiandien tai pati patogiausia sistema, leidžianti vizualiai palyginti objektų ir ženklų skaičių. Labiausiai paplito pradinėse mokyklose (skaičiavimo lazdelės). Šiuolaikinius įrenginius įvairiomis modifikacijomis galima lengvai laikyti „akmenukų skaičiavimo“ palikimu. Įdomus ir šiuolaikinio žodžio „skaičiavimas“ atsiradimas, kurio šaknys kilusios iš lotyniško calculus, kuris verčiamas tik kaip „akmenukas“.
Skaičiavimas ant pirštų
Atsižvelgiant į itin menką primityvaus žmogaus žodyną, gestai dažnai būdavo svarbus perduodamos informacijos papildymas. Pirštų pranašumas buvo jų universalumas ir nuolatinis buvimas su objektu, kuris norėjo perteikti informaciją. Tačiau yra ir didelių trūkumų: didelis apribojimas ir trumpa perdavimo trukmė. Todėl visas žmonių, naudojusių „pirštų metodą“, skaičius buvo apribotas skaičiais, kurie yra pirštų skaičiaus kartotiniai: 5 - atitinka vienos rankos pirštų skaičių; 10 - ant abiejų rankų; 20 yra bendras skaičius ant rankų ir kojų. Dėl gana lėtos skaitinės atsargos raidos ši sistema egzistavo gana ilgą laiką.
Pirmieji patobulinimai
Tobulėjant skaičių sistemai ir plečiantis žmonijos galimybėms bei poreikiams, daugelio tautų kultūrose maksimalus naudojamas skaičius tapo 40. Jis buvo suprantamas ir kaip neapibrėžtas (nesuskaičiuojamas) dydis. Rusijoje posakis „keturiasdešimt keturiasdešimt“ tapo plačiai paplitęs. Jo prasmė susivedė į objektų, kurių negalima suskaičiuoti, skaičių. Kitas vystymosi etapas yra skaičiaus 100 pasirodymas. Tada prasidėjo skirstymas į dešimtukus. Vėliau pradėjo pasirodyti skaičiai 1000, 10 000 ir tt, kurių kiekvienas turėjo semantinę apkrovą, panašią į septynias ir keturiasdešimt. Šiuolaikiniame pasaulyje galutinės sąskaitos ribos nėra apibrėžtos. Šiandien buvo pristatyta universali „begalybės“ sąvoka.
Sveikieji ir trupmeniniai skaičiai
Šiuolaikinės skaičiavimo sistemos ima vieną kaip mažiausią elementų skaičių. Daugeliu atvejų tai yra nedalomas dydis. Tačiau atliekant tikslesnius matavimus, jis taip pat gali būti sutraiškytas. Būtent su tuo susieta trupmeninio skaičiaus sąvoka, atsiradusi tam tikrame vystymosi etape. Pavyzdžiui, Babilonijos pinigų sistema (svarstyklės) buvo 60 min, tai buvo lygi 1 talanui. Savo ruožtu 1 mina buvo lygus 60 šekelių. Būtent šiuo pagrindu Babilono matematika plačiai naudojo šešiasdešimtinį padalijimą. Rusijoje plačiai naudojamos frakcijos atkeliavo pas mus iš senovės graikų ir indų. Be to, patys įrašai yra identiški indiškiems. Nedidelis skirtumas yra tai, kad pastarojoje nėra trupmeninės linijos. Graikai skaitiklį rašė viršuje, o vardiklį – apačioje. Indiška trupmenų rašymo versija buvo plačiai sukurta Azijoje ir Europoje dviejų mokslininkų: Mahometo iš Khorezmo ir Leonardo Fibonačio dėka. Romėniškoji skaičių sistema prilygino 12 vienetų, vadinamų uncijomis, visumai (1 asilas); atitinkamai visi skaičiavimai buvo pagrįsti dvylikapirštėse trupmenomis. Kartu su visuotinai priimtais, gana dažnai buvo naudojami ir specialūs skyriai. Pavyzdžiui, iki XVII amžiaus astronomai naudojo vadinamąsias seksagesimalias trupmenas, kurios vėliau buvo pakeistos dešimtainėmis trupmenomis (įvedė mokslininkas inžinierius Simonas Stevinas). Dėl tolesnės žmonijos pažangos iškilo poreikis dar reikšmingiau išplėsti skaičių eilutes. Taip palyginti neseniai atsirado neigiamas, neracionalus ir pažįstamas nulis. Jis pradėtas naudoti, kai į šiuolaikines skaičiavimo sistemas buvo įvesti neigiami skaičiai.
Naudojant nepozicinę abėcėlę
Kas yra tokia abėcėlė? Šiai skaičių sistemai būdinga, kad skaičių reikšmė nesikeičia priklausomai nuo jų išdėstymo. Nepozicinė abėcėlė pasižymi neribotu elementų skaičiumi. Tokio tipo abėcėlės pagrindu sukurtos sistemos yra pagrįstos adityvumo principu. Kitaip tariant, bendrą skaičiaus reikšmę sudaro visų įraše esančių skaitmenų suma. Nepozicinės sistemos atsirado anksčiau nei pozicinės. Atsižvelgiant į skaičiavimo metodą, bendra skaičiaus vertė nustatoma kaip visų skaičių sudarančių skaitmenų skirtumas arba suma.
Tokios sistemos turi trūkumų. Tarp pagrindinių turėtume išskirti:
- naujų skaičių įvedimas formuojant didelį skaičių;
- nesugebėjimas atspindėti neigiamų ir trupmeninių skaičių;
- sunkumai atliekant aritmetines operacijas.
Per visą žmonijos istoriją buvo naudojamos įvairios skaičių sistemos. Garsiausios yra: graikų, romėnų, abėcėlės, unarinės, senovės egiptiečių, babiloniečių.
Vienas iš labiausiai paplitusių skaičiavimo būdų
Iki šių dienų išlikęs beveik nepakitęs, tai vienas žinomiausių. Jis naudojamas įvairioms datoms, įskaitant jubiliejus, nurodyti. Jis taip pat plačiai pritaikytas literatūroje, moksle ir kitose gyvenimo srityse. Romėniškoje skaičių sistemoje naudojamos tik septynios raidės, kurių kiekviena atitinka tam tikrą skaičių: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.
Atsiradimas
Pati romėniškų skaitmenų kilmė neaiški, istorija nėra išsaugojusi tikslių duomenų apie jų išvaizdą. Kartu nepaneigiamas faktas: penkiolika skaičių sistema turėjo didelės įtakos romėniškajai numeracijai. Tačiau lotynų kalba apie tai neužsimenama. Tuo remiantis kilo hipotezė, kad senovės romėnai savo sistemą pasiskolino iš kitos tautos (manoma, iš etruskų).
Ypatumai
Visi sveikieji skaičiai (iki 5000) rašomi kartojant aukščiau aprašytus skaičius. Pagrindinis bruožas yra ženklų vieta:
- papildymas įvyksta su sąlyga, kad didesnis yra prieš mažesnį (XI = 11);
- atimtis įvyksta, jei mažesnis skaitmuo yra prieš didesnį (IX = 9);
- tas pats simbolis negali būti rodomas daugiau nei tris kartus iš eilės (pavyzdžiui, 90 rašomas XC, o ne LXXXX).
Jo trūkumas – aritmetinių operacijų atlikimo nepatogumai. Tačiau ji egzistavo gana ilgą laiką ir Europoje nustojo būti naudojama kaip pagrindinė skaičių sistema palyginti neseniai – XVI amžiuje.
Romėniška skaičių sistema nėra laikoma visiškai nepozicine. Taip yra dėl to, kad kai kuriais atvejais mažesnis skaičius atimamas iš didesnio (pavyzdžiui, IX = 9).
Skaičiavimo metodas Senovės Egipte
Trečiasis tūkstantmetis prieš Kristų yra laikomas skaičių sistemos atsiradimo Senovės Egipte momentu. Jo esmė buvo su specialiais simboliais parašyti skaičius 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Visi kiti skaičiai buvo rašomi kaip šių originalių simbolių derinys. Tuo pačiu metu buvo ir apribojimas – kiekvienas skaitmuo turėjo būti kartojamas ne daugiau kaip devynis kartus. Šis skaičiavimo metodas, kurį šiuolaikiniai mokslininkai vadina „nepozicine dešimtaine sistema“, pagrįstas paprastu principu. Jo reikšmė ta, kad parašytas skaičius buvo lygus visų jį sudarančių skaitmenų sumai.
Unarinis skaičiavimo metodas
Skaičių sistema, kurioje rašant skaičius naudojamas vienas ženklas – I – vadinama vienane. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas prie ankstesnio pridedant naują I. Šiuo atveju tokių I skaičius yra lygus skaičiaus, užrašyto naudojant juos, reikšmei.
Aštuntainių skaičių sistema
Tai pozicinis skaičiavimo metodas, pagrįstas skaičiumi 8. Skaičiams rodyti naudojama skaitmeninė serija nuo 0 iki 7. Ši sistema plačiai naudojama gaminant ir naudojant skaitmeninius įrenginius. Pagrindinis jo pranašumas yra paprastas skaičių vertimas. Juos galima konvertuoti į ir iš. Šios manipuliacijos atliekamos pakeičiant skaičius. Iš aštuntosios sistemos jie paverčiami dvejetainiais trynukais (pavyzdžiui, 28 = 0102, 68 = 1102). Šis skaičiavimo būdas buvo plačiai paplitęs kompiuterių gamybos ir programavimo srityje.
Šešioliktainė skaičių sistema
Pastaruoju metu šis skaičiavimo būdas gana aktyviai naudojamas kompiuterių srityje. Šios sistemos šaknis yra pagrindas - 16. Ja pagrįsta skaičių sistema apima skaičių nuo 0 iki 9 ir lotyniškos abėcėlės raidžių skaičių (nuo A iki F), kurie naudojami intervalui nurodyti. nuo 1010 iki 1510. Šis skaičiavimo būdas, kaip jau buvo pažymėtas, naudojamas gaminant programinę įrangą ir dokumentaciją, susijusią su kompiuteriais ir jų komponentais. Tai pagrįsta šiuolaikinio kompiuterio, kurio pagrindinis blokas yra 8 bitų atmintis, savybėmis. Jį patogu konvertuoti ir įrašyti naudojant du šešioliktainius skaitmenis. Šio proceso įkūrėjas buvo IBM/360 sistema. Tai pirmas kartas, kai jo dokumentai išversti tokiu būdu. Unicode standartas reikalauja, kad bet koks simbolis būtų parašytas šešioliktaine tvarka, naudojant bent 4 skaitmenis.
Įrašymo būdai
Skaičiavimo metodo matematinė konstrukcija pagrįsta jo nurodymu apatiniame indekse dešimtainėje sistemoje. Pavyzdžiui, skaičius 1444 parašytas kaip 144410. Šešioliktainių sistemų rašymo programavimo kalbos turi skirtingas sintakses:
Išvada
Kaip jie mokomi Kompiuterių mokslas yra pagrindinė disciplina, kurioje vyksta duomenų kaupimas, jų kūrimo patogia vartojimui forma. Naudojant specialius įrankius visa turima informacija apdorojama ir verčiama į programavimo kalbą. Jis toliau naudojamas kuriant programinę įrangą ir kompiuterinę dokumentaciją. Studijuodami įvairias skaičiavimo sistemas, kompiuterių mokslas apima, kaip minėta, įvairių įrankių naudojimą. Daugelis jų palengvina greitą skaičių vertimą. Vienas iš šių „įrankių“ yra skaičių sistemų lentelė. Tai gana patogu naudoti. Naudodami šias lenteles galite, pavyzdžiui, greitai konvertuoti skaičių iš šešioliktainio į dvejetainį skaičių, neturėdami jokių specialių mokslinių žinių. Šiandien beveik kiekvienas tuo besidomintis žmogus turi galimybę atlikti skaitmenines transformacijas, nes būtini įrankiai vartotojams siūlomi atviruose šaltiniuose. Be to, yra internetinių vertimo programų. Tai labai supaprastina skaičių konvertavimo užduotį ir sumažina veikimo laiką.
1. Eilinis skaičiavimas įvairiose skaičių sistemose.
Šiuolaikiniame gyvenime mes naudojame pozicines skaičių sistemas, tai yra sistemas, kuriose skaitmeniu žymimas skaičius priklauso nuo skaitmens padėties skaičiaus žymėjime. Todėl ateityje kalbėsime tik apie juos, praleisdami terminą „pozicinis“.
Norėdami išmokti konvertuoti skaičius iš vienos sistemos į kitą, naudodamiesi dešimtainės sistemos pavyzdžiu suprasime, kaip vyksta nuoseklus skaičių įrašymas.
Kadangi turime dešimtainę skaičių sistemą, skaičiams sudaryti turime 10 simbolių (skaitmenų). Pradedame skaičiuoti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Skaičiai baigėsi. Padidiname skaičiaus bitų gylį ir iš naujo nustatome žemos eilės skaitmenį: 10. Tada vėl didiname žemos eilės skaitmenį, kol išnyks visi skaitmenys: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Didesnės eilės skaitmenį padidiname 1, o žemos eilės skaitmenį nustatome iš naujo: 20. Panaudoję visus abiejų skaitmenų skaitmenis (gauname skaičių 99), vėl padidiname skaičiaus skaitmenų talpą ir iš naujo nustatome esami skaitmenys: 100. Ir taip toliau.
Pabandykime tą patį padaryti 2-oje, 3-ioje ir 5-oje sistemose (įvedame žymėjimą 2-ajai, 3-ajai ir tt):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Jei skaičių sistemos bazė yra didesnė nei 10, tada turėsime įvesti papildomų simbolių, įprasta įvesti lotyniškos abėcėlės raides. Pavyzdžiui, 12 skaitmenų sistemai, be dešimties skaitmenų, mums reikia dviejų raidžių ( ir ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į bet kurią kitą.
Norėdami konvertuoti teigiamą sveikąjį dešimtainį skaičių į skaičių sistemą su skirtinga baze, turite padalyti šį skaičių iš bazės. Gautą koeficientą dar kartą padalykite iš pagrindo ir toliau, kol koeficientas bus mažesnis už bazę. Dėl to vienoje eilutėje užrašykite paskutinį koeficientą ir visus likučius, pradedant nuo paskutinio.
1 pavyzdys. Paverskime dešimtainį skaičių 46 į dvejetainę skaičių sistemą.
2 pavyzdys. Dešimtainį skaičių 672 paverskime aštuntainių skaičių sistema.
3 pavyzdys. Paverskime dešimtainį skaičių 934 į šešioliktainę skaičių sistemą.
3. Konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę.
Norėdami sužinoti, kaip konvertuoti skaičius iš bet kurios kitos sistemos į dešimtainį skaičių, panagrinėkime įprastą dešimtainio skaičiaus žymėjimą.
Pavyzdžiui, dešimtainis skaičius 325 yra 5 vienetai, 2 dešimtys ir 3 šimtai, t.y.
Lygiai tokia pati situacija ir kitose skaičių sistemose, tik dauginsime ne iš 10, 100 ir pan., o iš skaičių sistemos pagrindo laipsnių. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 1201 trijų dalių sistemoje. Suskaičiuokime skaitmenis iš dešinės į kairę, pradėdami nuo nulio ir įsivaizduokime savo skaičių kaip skaitmens ir trijų sandaugų sumą iki skaičiaus skaitmens laipsnio:
Tai mūsų skaičiaus dešimtainis žymėjimas, t.y.
4 pavyzdys. Aštuntainį skaičių 511 paverskime dešimtainių skaičių sistema.
5 pavyzdys. Paverskime šešioliktainį skaičių 1151 į dešimtainę skaičių sistemą.
4. Konvertavimas iš dvejetainės sistemos į sistemą su bazine „dviejų galia“ (4, 8, 16 ir kt.).
Norint paversti dvejetainį skaičių į skaičių, kurio laipsnis yra dviejų bazių, reikia padalyti dvejetainę seką į grupes pagal skaitmenų skaičių, lygų galiai iš dešinės į kairę, ir kiekvieną grupę pakeisti atitinkamu naujojo skaitmeniu. skaičių sistema.
Pavyzdžiui, paverskime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į aštuntainę sistemą. Norėdami tai padaryti, suskirstysime jį į 3 simbolių grupes, pradedant nuo dešinės (nuo ), tada naudokite atitikmenų lentelę ir pakeisime kiekvieną grupę nauju skaičiumi:
1 veiksme išmokome sudaryti atitikmenų lentelę.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tie.
6 pavyzdys. Paverskime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į šešioliktainį.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Konvertavimas iš sistemos su bazine „dviejų galia“ (4, 8, 16 ir kt.) į dvejetainę.
Šis vertimas panašus į ankstesnį, atliktas priešinga kryptimi: kiekvieną skaitmenį pakeičiame skaitmenų grupe dvejetainėje sistemoje iš atitikmenų lentelės.
7 pavyzdys. Paverskime šešioliktainį skaičių C3A6 į dvejetainę skaičių sistemą.
Norėdami tai padaryti, pakeiskite kiekvieną skaičiaus skaitmenį 4 skaitmenų grupe (nuo ) iš atitikmenų lentelės, jei reikia, pradžioje papildykite grupę nuliais:
