Aritmetiniai veiksmai skirtingose skaičių sistemose skaičiuotuvas. Dvejetainis pridėjimas
Su šiuo skaičiuotuvu taip pat naudojami šie dalykai:
Skaičių konvertavimas į dvejetainę, šešioliktainę, dešimtainę, aštuntainę skaičių sistemas
Dvejetainių skaičių daugyba
Slankaus kablelio formatas
1 pavyzdys. Išreikškite skaičių 133,54 kaip slankiojo kablelio skaičių.
Sprendimas. Pavaizduokime skaičių 133,54 normalizuota eksponentinė forma:
1,3354*102 = 1,3354*exp 10 2
Skaičius 1,3354*exp 10 2 susideda iš dviejų dalių: mantisos M=1,3354 ir eksponento exp 10 =2
Jei mantisa yra intervale 1 ≤ M Nurodantis skaičių denormalizuota eksponentinė forma.
Jei mantisa yra diapazone 0,1 ≤ M Pavaizduokime skaičių denormalizuota eksponentinė forma: 0,13354*exp 10 3
2 pavyzdys. Pateikite dvejetainį skaičių 101.10 2 normalizuota forma, parašykite 32 bitų IEEE754 standartu.
tiesos lentelė
Ribos apskaičiavimas
Aritmetika dvejetainėje sistemoje
Aritmetiniai veiksmai dvejetainėje sistemoje atliekami taip pat, kaip ir dešimtaine. Bet jei dešimtainėje skaičių sistemoje pervedimas ir paskola atliekami dešimt vienetų, tada dvejetainėje - dviem vienetais. Lentelėje pateiktos sudėties ir atimties taisyklės dvejetainėje sistemoje.- Sudėjus du vienetus dvejetainėje skaičių sistemoje, šis bitas bus 0 ir vienas bus perkeltas į didžiausią bitą.
- Iš nulio atimant vienetą, vienas pasiskolinamas iš aukščiausios eilės, kur yra 1 . Šioje vietoje užimtas vienetas duoda du vienetus toje vietoje, kur skaičiuojamas veiksmas, taip pat vieną visose tarpinėse vietose.
Skaičių pridėjimas, atsižvelgiant į jų ženklus mašinoje, yra šių veiksmų seka:
- pradinių skaičių konvertavimas į nurodytą kodą;
- kodų pridėjimas bitais;
- rezultato analizė.
Atliekant operaciją papildomu (modifikuotu papildomu) kodu, jei dėl pridėjimo ženklo bite atsiranda pernešimo vienetas, jis atmetamas.
Atimties operacija kompiuteryje atliekama sudėjus pagal taisyklę: X-Y=X+(-Y). Kiti veiksmai atliekami taip pat, kaip ir papildymo operacija.
1 pavyzdys.
Duota: x=0,110001; y= -0,001001, pridėkite atvirkštinį modifikuotą kodą.
Duota: x=0,101001; y= -0,001101, pridėkite papildomą modifikuotą kodą. 
2 pavyzdys. Išspręskite dvejetainės atimties pavyzdžius naudodami 1 komplemento ir įvyniojimo metodą.
a) 11–10.
Sprendimas.
Pavaizduokime skaičius 11 2 ir -10 2 atvirkštiniame kode.
Dvejetainis skaičius 0000011 turi grąžinimo kodą 0.0000011
Sudėkime skaičius 00000011 ir 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
2 bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 3 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dėl to gauname:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Buvo nešioti nuo ženklo bito. Pridėkime jį (t. y. 1) prie gauto skaičiaus (taip atlikdami ciklinio perdavimo procedūrą).
Dėl to gauname:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Sudėjimo rezultatas: 00000001. Konvertuoti į dešimtainį vaizdą. Norint išversti sveikąją dalį, reikia skaičiaus skaitmenį padauginti iš atitinkamo skaitmens laipsnio.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Sudėjimo rezultatas (dešimtainiu ženklu): 1
b) 111-010 Pavaizduokime skaičius 111 2 ir -010 2 atvirkštiniame kode.
Atvirkštinis teigiamo skaičiaus kodas yra toks pat kaip ir tiesioginis kodas. Esant neigiamam skaičiui, visi skaičiaus skaitmenys pakeičiami priešingais (nuo 1 iki 0, nuo 0 iki 1), o vienas įrašomas į ženklo bitą.
Dvejetainis skaičius 0000111 turi grąžinimo kodą 0.0000111
Dvejetainio skaičiaus 0000010 grąžinimo kodas yra 1.1111101
Sudėkime skaičius 00000111 ir 11111101
0-ajame bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 1 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Perpildymas įvyko 1 bite (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 2 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
2 bite įvyko perpildymas (1 + 1 + 1 = 11). Todėl rašome 1, o 1 perkeliame į 3 skaitmenį.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
3 bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 4 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Perpildymas įvyko 4 bite (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 5 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
5-ajame bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 6 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
6-ajame bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 7 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
7-ajame bite įvyko perpildymas (1 + 1 = 10). Todėl rašome 0, o 1 perkeliame į 8 bitą.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Dėl to gauname:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Buvo nešioti nuo ženklo bito. Pridėkime jį (t. y. 1) prie gauto skaičiaus (taip atlikdami ciklinio perdavimo procedūrą).
Dėl to gauname:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Papildymo rezultatas: 00000101
Gavome skaičių 00000101. Norint išversti sveikąją dalį, reikia skaičiaus skaitmenį padauginti iš jį atitinkančio skaitmens laipsnio.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Sudėties rezultatas (dešimtainiu ženklu): 5
Dvejetainių slankiojo kablelio realiųjų skaičių sudėjimas
Kompiuteryje bet koks skaičius gali būti pavaizduotas slankiojo kablelio formatu. Slankaus kablelio formatas parodytas paveikslėlyje:
Pavyzdžiui, skaičius 10101 slankiojo kablelio formatu gali būti parašytas taip:
Kompiuteriai naudoja normalizuotą žymėjimo formą, kai kablelio padėtis visada nurodoma prieš reikšminį mantisos skaitmenį, t.y. sąlyga įvykdyta:
b -1 ≤|M| Normalizuotas skaičius - tai skaičius, turintis reikšminį skaitmenį po kablelio (t. y. 1 dvejetainėje skaičių sistemoje). Normalizavimo pavyzdys:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Pridedant slankiojo kablelio skaičius, pavedimų lygiavimas atliekamas į aukštesnę eilę: 
Slankaus kablelio pridėjimo algoritmas:
- Užsakymų derinimas;
- Mantisų įtraukimas į papildomą modifikuotą kodą;
- Rezultato normalizavimas.
4 pavyzdys.
A=0,1011*210, B=0,0001*211
1. Užsakymų derinimas;
A=0,01011*211, B=0,0001*211
2. Mantisų įtraukimas į papildomą modifikuotą kodą;
MA pridėti mod. =00.01011
MB papildomas mod. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Rezultato normalizavimas.
A+B=0,1101*2 10
3 pavyzdys. Parašykite dešimtainį skaičių dvejetainiu dešimtainiu žymėjimu ir pridėkite du skaičius dvejetainiu žymėjimu.
Skaičių vertimo į skirtingas skaičių sistemas pavyzdžiai
1 pavyzdys
Paverskime skaičių 12 iš dešimtainės į dvejetainę skaičių sistemą
Sprendimas
Paverskime skaičių 12 10 į 2-ių skaičių sistemą, nuosekliai dalydami iš 2, kol nepilnasis koeficientas bus lygus nuliui. Rezultatas bus skaičius iš likusios padalijimo dalies, parašytas iš dešinės į kairę.
| 12 | : | 2 | = | 6 | likusi dalis: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | likusi dalis: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | likusi dalis: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | likusi dalis: 1 |
12 10 = 1100 2
2 pavyzdys
Išverskime skaičių 12,3 iš dešimtainės į dvejetainę skaičių sistemą
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
SprendimasSkaičiaus 12,3 10 sveikąją dalį 12 išverskime į 2 eilės skaičių sistemą, naudodamiesi nuosekliu dalijimu iš 2, kol nepilnasis koeficientas bus lygus nuliui. Rezultatas bus skaičius iš likusios padalijimo dalies, parašytas iš dešinės į kairę.
| 12 | : | 2 | = | 6 | likusi dalis: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | likusi dalis: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | likusi dalis: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | likusi dalis: 1 |
12 10 = 1100 2
Skaičiaus 12,3 10 trupmeninę dalį 0,3 išverskime į 2 skaitmenų skaičių sistemą, naudodami nuoseklųjį dauginimą iš 2, kol trupmeninė sandaugos dalis pasirodys lygi nuliui arba bus pasiektas reikiamas skaičių po kablelio skaičius. Jei dėl daugybos sveikoji dalis nėra lygi nuliui, tada sveikosios dalies reikšmę reikia pakeisti nuliu. Rezultatas bus sveikųjų produktų dalių skaičius, parašytas iš kairės į dešinę.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
3 pavyzdys
Paverskime skaičių 10011 iš dvejetainės sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Sprendimas
Išverskime skaičių 10011 2 į dešimtainę skaičių sistemą, tam pirmiausia užrašome kiekvieno skaitmens vietą skaičiuje iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio.
Kiekviena skaitmens padėtis bus 2 laipsnio, nes skaičių sistema yra 2-arinė. Kiekvieną skaičių 10011 2 reikia iš eilės padauginti iš 2 iki atitinkamos skaičiaus padėties laipsnio, o tada pridėti jį su sekančio skaičiaus sandauga prie atitinkamos padėties laipsnio.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
4 pavyzdys
Išverskime skaičių 11.101 iš dvejetainės sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
11.101 2 = 3.625 10
SprendimasIšverskime skaičių 11.101 2 į dešimtainę skaičių sistemą, tam pirmiausia užrašome kiekvieno skaitmens vietą skaičiuje
Kiekviena skaitmens padėtis bus 2 laipsnio, nes skaičių sistema yra 2-arinė. Kiekvieną skaičių 11.101 2 reikia paeiliui padauginti iš 2 iki atitinkamos skaičiaus padėties laipsnio ir tada pridėti jį su sekančio skaičiaus sandauga prie atitinkamos padėties laipsnio.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
5 pavyzdys
Paverskime skaičių 1583 iš dešimtainės sistemos į šešioliktainę skaičių sistemą
1583 10 = 62F 16
SprendimasIšverskime skaičių 1583 10 į 16 eilės skaičių sistemą, nuosekliai dalydami iš 16, kol nepilnas koeficientas bus lygus nuliui. Rezultatas bus skaičius iš likusios padalijimo dalies, parašytas iš dešinės į kairę.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | likusi dalis: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | likusi dalis: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | likusi dalis: 6 |
1583 10 = 62F 16
6 pavyzdys
Išverskime skaičių 1583,56 iš dešimtainės sistemos į šešioliktainę skaičių sistemą
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
SprendimasSkaičiaus 1583,56 10 sveikąją dalį 1583 išverskime į 16 skaičių sistemą, naudodamiesi nuosekliu dalijimu iš 16, kol nepilnasis koeficientas bus lygus nuliui. Rezultatas bus skaičius iš likusios padalijimo dalies, parašytas iš dešinės į kairę.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | likusi dalis: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | likusi dalis: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | likusi dalis: 6 |
1583 10 = 62F 16
Skaičiaus 1583,56 10 trupmeninę dalį 0,56 išverskime į 16 skaičių sistemą, naudodami nuoseklųjį dauginimą iš 16, kol trupmeninė sandaugos dalis pasirodys lygi nuliui arba bus pasiektas reikiamas skaičių po kablelio skaičius. Jei dėl daugybos sveikoji dalis nėra lygi nuliui, tada sveikosios dalies reikšmę reikia pakeisti nuliu. Rezultatas bus sveikųjų produktų dalių skaičius, parašytas iš kairės į dešinę.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0,56 10 = 0,8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
7 pavyzdys
Paverskime skaičių A12DCF iš šešioliktainės sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
A12DCF 16 = 10563023 10
SprendimasPaverskime skaičių A12DCF 16 į dešimtainę skaičių sistemą, tam pirmiausia užrašome kiekvieno skaitmens vietą skaičiuje iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio.
Kiekviena skaitmens padėtis bus 16 laipsnio, nes skaičių sistema yra 16. Kiekvieną skaičių A12DCF 16 reikia paeiliui padauginti iš 16 iki atitinkamos skaičiaus padėties laipsnio ir tada pridėti su sekančio skaičiaus sandauga prie atitinkamos padėties laipsnio.
2
Kiekviena skaitmens padėtis bus 16 laipsnio, nes skaičių sistema yra 16. Kiekvieną skaičių A12DCF.12A 16 reikia nuosekliai padauginti iš 16 iki atitinkamos skaičiaus padėties laipsnio ir tada pridėti su sekančio skaičiaus sandauga prie atitinkamos padėties laipsnio.
A 16 = 10 10
D16 = 13 10
C 16 = 12 10
F 16 = 15 10
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 -1 16
Kiekviena skaitmens padėtis bus 2 laipsnio, nes skaičių sistema yra 2-arinė. Kiekvieną skaičių 1010100011 2 reikia paeiliui padauginti iš 2 iki atitinkamos skaičiaus padėties laipsnio ir tada pridėti jį su sekančio skaičiaus sandauga prie atitinkamos padėties laipsnio.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Išverskime skaičių 675 10 į 16 skaičių sistemą, nuosekliai dalydami iš 16, kol dalinis koeficientas bus lygus nuliui. Rezultatas bus skaičius iš likusios padalijimo dalies, parašytas iš dešinės į kairę.
| 675 | : | 16 | = | 42 | likusi dalis: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | likusi dalis: 10, 10 = A |
| 2 | : | 16 | = | 0 | likusi dalis: 2 |
675 10 = 2A3 16 Aptarnavimo užduotis. Paslauga skirta išversti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą internete. Norėdami tai padaryti, pasirinkite sistemos, iš kurios norite išversti numerį, bazę. Kableliais galite įvesti ir sveikuosius skaičius, ir skaičius.
Galite įvesti sveikuosius skaičius, pvz., 34 , arba trupmeninius skaičius, pvz., 637,333 . Kalbant apie trupmeninius skaičius, nurodomas vertimo tikslumas po kablelio.
Su šiuo skaičiuotuvu taip pat naudojami šie dalykai:
Skaičių vaizdavimo būdai
Dvejetainis (dvejetainiai) skaičiai - kiekvienas skaitmuo reiškia vieno bito reikšmę (0 arba 1), kairėje visada rašomas reikšmingiausias bitas, po skaičiaus dedama raidė „b“. Kad būtų lengviau suvokti, sąsiuvinius galima atskirti tarpais. Pavyzdžiui, 1010 0101b.Šešioliktainis (šešioliktainiai) skaičiai – kiekviena tetrada vaizduojama vienu simboliu 0...9, A, B, ..., F. Toks vaizdavimas gali būti žymimas įvairiai, čia po paskutinio vartojamas tik simbolis „h“ šešioliktainis skaitmuo. Pavyzdžiui, A5h. Programų tekstuose tas pats skaičius gali būti žymimas ir 0xA5, ir 0A5h, priklausomai nuo programavimo kalbos sintaksės. Reikšmingiausio šešioliktainio skaitmens, pavaizduoto raide, kairėje pridedamas nereikšmingas nulis (0), kad būtų galima atskirti skaičius ir simbolinius pavadinimus.
Dešimtainės (dešimtainiai) skaičiai – kiekvienas baitas (žodis, dvigubas žodis) vaizduojamas paprastu skaičiumi, o dešimtainio vaizdavimo ženklas (raidė „d“) dažniausiai praleidžiamas. Ankstesniuose pavyzdžiuose pateikto baito dešimtainė reikšmė yra 165. Skirtingai nuo dvejetainių ir šešioliktainių ženklų, dešimtainės dalies sunku mintyse nustatyti kiekvieno bito reikšmę, o tai kartais tenka daryti.
aštuntainis (aštuontainiai) skaičiai - kiekvienas bitų trigubas (atskyrimas prasideda nuo mažiausiai reikšmingo) rašomas kaip skaičius 0-7, pabaigoje dedamas ženklas "o". Tas pats skaičius būtų parašytas kaip 245o. Aštuontainė sistema yra nepatogi, nes baitas negali būti padalintas po lygiai.
Skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą algoritmas
Sveikųjų skaičių dešimtainiai skaičiai konvertuojami į bet kurią kitą skaičių sistemą, padalijus skaičių iš naujos skaičių sistemos pagrindo, kol liekana palieka skaičių, mažesnį už naujos skaičių sistemos bazę. Naujas skaičius rašomas kaip dalybos likutis, pradedant nuo paskutinio.Teisingos dešimtainės trupmenos konvertavimas į kitą PSS atliekamas tik trupmeninę skaičiaus dalį dauginant iš naujos skaičių sistemos pagrindo, kol trupmeninėje dalyje liks visi nuliai arba kol pasiekiamas nurodytas vertimo tikslumas. Po kiekvienos daugybos operacijos susidaro vienas naujo skaičiaus skaitmuo, pradedant nuo didžiausio.
Netinkamos trupmenos vertimas atliekamas pagal 1 ir 2 taisykles. Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys rašomos kartu, atskirtos kableliu.
1 pavyzdys. 
Vertimas iš 2 į 8 į 16 skaičių sistema.
Šios sistemos yra dviejų kartotiniai, todėl vertimas atliekamas naudojant atitikmenų lentelę (žr. toliau).
Norint konvertuoti skaičių iš dvejetainės skaičių sistemos į aštuntąjį (šešioliktainį) skaičių, dvejetainį skaičių reikia padalyti į grupes iš trijų (šešioliktainio skaičiaus – keturių) skaitmenų iš kablelio į dešinę ir į kairę, kraštutines grupes papildant nuliais. jei būtina. Kiekviena grupė pakeičiama atitinkamu aštuntainiu arba šešioliktainiu skaitmeniu.
2 pavyzdys. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
čia 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Konvertuodami į šešioliktainį skaičių, turite padalyti skaičių į dalis, po keturis skaitmenis, vadovaudamiesi tomis pačiomis taisyklėmis.
3 pavyzdys. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
čia 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Skaičių iš 2, 8 ir 16 konvertavimas į dešimtainę sistemą atliekamas skaičių suskaidant į atskirus ir padauginus iš sistemos bazės (iš kurios verčiamas skaičius), pakeltos iki laipsnio, atitinkančio jo eilės skaičių. išverstame numeryje. Šiuo atveju skaičiai numeruojami kairėje nuo kablelio (pirmasis skaičius yra 0) didėjant, o dešinėje - mažėjant (ty su neigiamu ženklu). Gauti rezultatai sumuojami.
4 pavyzdys.
Konvertavimo iš dvejetainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Konvertavimo iš aštuntainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Šešioliktainės į dešimtainę skaičių sistemos konvertavimo pavyzdys. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10
Dar kartą pakartojame skaičių vertimo iš vienos skaičių sistemos į kitą PSS algoritmą
- Iš dešimtainių skaičių sistemos:
- skaičių padalinkite iš verčiamos skaičių sistemos pagrindo;
- raskite likutį padalijus sveikąją skaičiaus dalį;
- surašykite visus dalybos likučius atvirkštine tvarka;
- Iš dvejetainės sistemos
- Norėdami konvertuoti į dešimtainę skaičių sistemą, turite rasti 2 bazės sandaugų sumą pagal atitinkamą iškrovos laipsnį;
- Norėdami konvertuoti skaičių į aštuntąją, turite suskaidyti skaičių į triadas.
Pavyzdžiui, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainio į šešioliktainį, turite skaičių padalyti į 4 skaitmenų grupes.
Pavyzdžiui, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Skaičių sistemų atitikties lentelė:
| Dvejetainis SS | Šešioliktainis SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Lentelė konvertuoti į aštuntainių skaičių sistemą
2 pavyzdys. Konvertuokite skaičių 100,12 iš dešimtainio į aštuntainį ir atvirkščiai. Paaiškinkite neatitikimų priežastis.
Sprendimas.
1 etapas. .
Likusi padalijimo dalis rašoma atvirkštine tvarka. Gauname skaičių 8-oje skaičių sistemoje: 144
100 = 144 8
Norėdami išversti trupmeninę skaičiaus dalį, trupmeninę dalį paeiliui dauginame iš 8 bazės. Dėl to kiekvieną kartą užrašome sveikąją sandaugos dalį.
0,12*8 = 0,96 (visa dalis 0
)
0,96*8 = 7,68 (visa dalis 7
)
0,68*8 = 5,44 (visa dalis 5
)
0,44*8 = 3,52 (visa dalis 3
)
Gauname numerį 8-oje skaičių sistemoje: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 etapas. Skaičių konvertavimas iš dešimtainio į aštuntainį.
Atvirkštinis konvertavimas iš aštuntainio į dešimtainį.
Norint išversti sveikąją dalį, reikia skaičiaus skaitmenį padauginti iš atitinkamo skaitmens laipsnio.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Norėdami išversti trupmeninę dalį, skaičiaus skaitmenį reikia padalyti iš atitinkamo skaitmens laipsnio
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Skirtumas 0,0001 (100,12 - 100,1199) atsiranda dėl apvalinimo klaidos konvertuojant į aštuntąją. Šią paklaidą galima sumažinti, jei imsime didesnį skaičių skaitmenų (pavyzdžiui, ne 4, o 8).
Pastaba:
Veiksmus galite atlikti tik vienoje skaičių sistemoje, jei jums pateikiamos skirtingos skaičių sistemos, pirmiausia išverskite visus skaičius į vieną skaičių sistemą
Jei dirbate su skaičių sistema, kurios bazė yra didesnė nei 10 ir pavyzdyje susidūrėte su raide, mintyse pakeiskite ją skaičiumi dešimtainėje sistemoje, atlikite reikiamas operacijas ir išverskite rezultatą atgal į pradinę skaičių sistemą.
Papildymas:
Visi prisimena, kaip pradinėje mokykloje mus mokė krauti į koloną, iškrauti su iškrova. Jei sudėjus iškrovoje gautas skaičius didesnis nei 9, iš jo atėmėme 10, rezultatas įrašomas atsakyme, o 1 pridedamas prie kitos iškrovos. Iš to galime suformuluoti taisyklę:
- Patogiau sulankstyti „stulpelį“
- Sumuojant po bitą, jei skaitmuo > yra didesnis už didžiausią tam tikros skaičių sistemos abėcėlės skaitmenį, iš šio skaičiaus atimame skaičių sistemos bazę.
- Rezultatas rašomas norimoje kategorijoje
- Pridėkite vieną prie kito skaitmens
Pridėkite 1001001110 ir 100111101 dvejetainiu formatu
1001001110 |
100111101 |
1110001011 |
Atsakymas: 1110001011
Pridėkite F3B ir 5A šešioliktaine tvarka
FE0 |
Atsakymas: FE0
Atimtis: Visi prisimena, kaip pradinėje mokykloje mus mokė iš iškrovos atimti stulpelį, iškrovą. Jei atimant iš skaitmens gautas skaičius mažesnis nei 0, tai „pasiskolinome“ vienetą nuo aukščiausio skaitmens ir prie norimo skaičiaus pridėjome 10, iš naujo skaičiaus atėmėme norimą skaičių. Iš to galime suformuluoti taisyklę:
Pavyzdys:
Atimkite 100111101 iš 1001001110 dvejetainiu formatu
1001001110 |
100111101 |
100010001 |
Atsakymas: 100010001
Iš F3B atimkite šešioliktainį skaičių 5A
D96 |
Atsakymas: D96
Svarbiausia, nepamirškite, kad jūs turite tik šios skaičių sistemos numerius, tik nepamirškite apie perėjimus tarp bitų terminų.
Daugyba:
Daugyba kitose skaičių sistemose vyksta lygiai taip pat, kaip mes dauginome.
- Patogiau dauginti iš „stulpelio“
- Daugyba bet kurioje skaičių sistemoje vadovaujasi tomis pačiomis taisyklėmis kaip ir dešimtainėje. Bet mes galime naudoti tik abėcėlę, duota sistema skaičiavimas
Padauginkite 10111 iš 1101 dvejetainiu būdu
10111 |
1101 |
10111 |
10111 |
10111 |
100101011 |
Atsakymas: 100101011
Padauginkite F3B iš A šešioliktaine
F3B |
984E |
Atsakymas: 984E
Atsakymas: 984E
Svarbiausia, nepamirškite, kad jūs turite tik šios skaičių sistemos numerius, tik nepamirškite apie perėjimus tarp bitų terminų.Padalinys:
Dalyba kitose skaičių sistemose vyksta lygiai taip pat, kaip mes esame įpratę dalyti.
- Patogiau dalintis „stulpelyje“
- Dalijimasis bet kurioje skaičių sistemoje vyksta pagal tas pačias taisykles kaip ir dešimtaine. Bet galime naudoti tik skaičių sistemos pateiktą abėcėlę
Pavyzdys:
Padalinkite 1011011 iš 1101 dvejetainiu būdu
Padalinti F3 B iki 8 šešioliktainėje skaičių sistemoje
Svarbiausia, nepamirškite, kad jūs turite tik šios skaičių sistemos numerius, tik nepamirškite apie perėjimus tarp bitų terminų.
NEPOZICINIS
Nepozicinės skaičių sistemos
Istoriškai pirmiausia atsirado nepozicinės skaičių sistemos. Šiose sistemose kiekvieno skaitmeninio simbolio reikšmė yra pastovi ir nepriklauso nuo jo padėties. Paprasčiausias nepozicinės sistemos atvejis yra vienas, kuriam skaičiams žymėti naudojamas vienas simbolis, paprastai tai yra linija, kartais taškas, iš kurio visada dedamas skaičius, atitinkantis nurodytą skaičių:
- 1 - |
- 2 - ||
- 3 - ||| ir kt.
Taigi šis vienintelis simbolis yra svarbus vienetų, iš kurių reikiamas skaičius gaunamas nuosekliai sudedant:
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
Vienetų sistemos modifikacija – sistema su pagrindu, kurioje yra simboliai ne tik vienetui žymėti, bet ir pagrindo laipsniams. Pavyzdžiui, jei skaičius 5 laikomas pagrindu, bus papildomų simbolių, nurodančių 5, 25, 125 ir pan.
Tokios sistemos su 10 baze pavyzdys yra senovės Egipto sistema, atsiradusi trečiojo tūkstantmečio prieš Kristų antroje pusėje. Ši sistema turėjo šiuos hieroglifus:
- šeši vienetai,
- lankas - dešimtys,
- palmių lapai - šimtai,
- lotoso žiedas – tūkstančiai.
Skaičiai buvo gauti paprastu sudėjimu, tvarka gali būti bet kokia. Taigi, norėdami pažymėti, pavyzdžiui, skaičių 3815, jie nupiešė tris lotoso žiedus, aštuonis palmių lapus, vieną lanką ir penkis stulpus. Sudėtingesnės sistemos su papildomais ženklais – senosios graikų, romėniškos. Romėniškame taip pat naudojamas pozicinės sistemos elementas - pridedamas didelis skaičius prieš mažesnį, mažesnis prieš didesnį atimamas: IV \u003d 4, bet VI \u003d 6, šis metodas, tačiau naudojamas tik skaičiams 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 ir jų išvestiniams nurodyti sudėjus.
Šiuolaikinės graikų ir senosios rusų sistemos naudojo 27 abėcėlės raides kaip skaičius, kur jie žymėjo kiekvieną skaičių nuo 1 iki 9, taip pat dešimtis ir šimtus. Šis metodas leido rašyti skaičius nuo 1 iki 999 nekartojant skaitmenų.
Senojoje rusų sistemoje dideliems skaičiams žymėti buvo naudojami specialūs rėmeliai aplink skaičius.
Nepozicinė numeravimo sistema vis dar beveik visur naudojama kaip žodinė numeravimo sistema. Žodinės numeracijos sistemos yra stipriai susietos su kalba, o jų bendrieji elementai daugiausia nurodo bendruosius principus ir didelių skaičių (trilijonų ir daugiau) pavadinimus. Bendrieji principai, kuriais grindžiama šiuolaikinė žodinė numeracija, suponuoja žymėjimo formavimą sudedant ir padauginant unikalių vardų reikšmes.
Naudodami šį internetinį skaičiuotuvą galite konvertuoti sveikuosius ir trupmeninius skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami išversti, įveskite originalų skaičių, nustatykite pradinio skaičiaus skaičių sistemos pagrindą, nustatykite skaičių sistemos, į kurią norite konvertuoti skaičių, bazę ir spustelėkite mygtuką „Išversti“. Žr. toliau pateiktą teorinę dalį ir skaitinius pavyzdžius.
Rezultatas jau gautas!
Sveikųjų ir trupmeninių skaičių vertimas iš vienos skaičių sistemos į bet kurią kitą – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai
Yra pozicinių ir nepozicinių skaičių sistemos. Arabų skaičių sistema, kurią naudojame kasdieniame gyvenime, yra pozicinė, o romėniška – ne. Padėčių skaičių sistemose skaičiaus padėtis vienareikšmiškai lemia skaičiaus dydį. Apsvarstykite tai naudodami skaičiaus 6372 pavyzdį dešimtainėje skaičių sistemoje. Sunumeruokime šį skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:
Tada skaičius 6372 gali būti pavaizduotas taip:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Skaičius 10 apibrėžia skaičių sistemą (šiuo atveju tai yra 10). Suteikto skaičiaus padėties reikšmės imamos laipsniais.
Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1287.923. Sunumeruojame, pradedant nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir į dešinę:
Tada skaičius 1287.923 gali būti pavaizduotas taip:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3.
Apskritai formulę galima pavaizduoti taip:
C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
kur C n yra sveikasis skaičius padėtyje n, D -k – trupmeninis skaičius pozicijoje (-k), s- skaičių sistema.
Keletas žodžių apie skaičių sistemas. Skaičius dešimtainėje skaičių sistemoje susideda iš skaitmenų aibės (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), aštuntųjų skaičių sistemoje jis susideda iš skaitmenų rinkinys (0,1, 2,3,4,5,6,7), dvejetainėje sistemoje - iš skaitmenų rinkinio (0,1), šešioliktainėje skaičių sistemoje - iš skaitmenų rinkinio (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kur A,B,C,D,E,F atitinka skaičius 10,11, 12,13,14,15.1 lentelėje skaičiai pavaizduoti skirtingose skaičių sistemose.
| 1 lentelė | |||
|---|---|---|---|
| Žymėjimas | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Norint išversti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą, paprasčiausias būdas yra pirmiausia konvertuoti skaičių į dešimtainę skaičių sistemą, o tada iš dešimtainės skaičių sistemos išversti jį į reikiamą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Naudodami (1) formulę galite konvertuoti skaičius iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą.
Pavyzdys 1. Konvertuokite skaičių 1011101.001 iš dvejetainės skaičių sistemos (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
1 2 6 +0 2 5 + 1 24+ 1 23+ 1 2 2+ 0 21+ 1 20+ 0 2-1 + 0 2-2+ 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Pavyzdys2. Konvertuokite skaičių 1011101.001 iš aštuntainių skaičių sistemos (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
Pavyzdys 3 . Konvertuokite skaičių AB572.CDF iš šešioliktainės į dešimtainę SS. Sprendimas:
Čia A- pakeista 10, B– 11 val. C– 12 val. F– 15 val.
Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, reikia atskirai išversti sveikąją skaičiaus dalį ir trupmeninę skaičiaus dalį.
Sveikoji skaičiaus dalis verčiama iš dešimtainės SS į kitą skaičių sistemą - iš eilės padalijus sveikąją skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo (dvejetainei SS - iš 2, 8 skaitmenų SS - iš 8, 16 skaitmenų – 16 ir tt), kad gautumėte visą likutį, mažesnį už SS bazę.
Pavyzdys 4 . Išverskime skaičių 159 iš dešimtainio SS į dvejetainį SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kaip matyti iš fig. 1, skaičius 159, padalytas iš 2, suteikia koeficientą 79, o liekana yra 1. Be to, skaičius 79, padalytas iš 2, suteikia dalinį 39, o liekana yra 1 ir t.t. Dėl to, sukūrę skaičių iš likusios padalijimo dalies (iš dešinės į kairę), gauname skaičių dvejetainiu SS: 10011111 . Todėl galime rašyti:
159 10 =10011111 2 .
Pavyzdys 5 . Paverskime skaičių 615 iš dešimtainio SS į aštuntainį SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konvertuojant skaičių iš dešimtainio SS į aštuntainį SS, reikia skaičių padalyti iš 8, kol gausite sveikojo skaičiaus liekaną, mažesnę nei 8. Dėl to, sudarydami skaičių iš likusios dalybos dalies (iš dešinės į kairę), mes gaukite skaičių aštuntaine SS: 1147 (žr. 2 pav.). Todėl galime rašyti:
615 10 =1147 8 .
Pavyzdys 6 . Išverskime skaičių 19673 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kaip matyti iš 3 paveikslo, skaičių 19673 paeiliui padalijus iš 16, gavome likučius 4, 12, 13, 9. Šešioliktainėje skaičių sistemoje skaičius 12 atitinka C, skaičius 13 – D. Todėl mūsų šešioliktainis skaičius yra 4CD9.
Norint paversti teisingas dešimtaines trupmenas (realųjį skaičių su nuline sveikojo skaičiaus dalimi) į skaičių sistemą su baze s, šį skaičių reikia paeiliui padauginti iš s, kol trupmeninė dalis bus gryna nulis arba gausime reikiamą skaičių skaitmenų. Jei padauginus gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, tai į šią sveikąją dalį neatsižvelgiama (jie nuosekliai įtraukiami į rezultatą).
Pažvelkime į aukščiau pateiktus pavyzdžius.
Pavyzdys 7 . Išverskime skaičių 0,214 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kaip matyti iš 4 pav., skaičius 0,214 paeiliui dauginamas iš 2. Jei daugybos rezultatas yra skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, tada sveikoji dalis rašoma atskirai (skaičiaus kairėje), o skaičius rašomas su nuline sveikojo skaičiaus dalimi. Jei padauginus gaunamas skaičius, kurio sveikojo skaičiaus dalis yra nulinė, tada kairėje jo pusėje rašomas nulis. Daugybos procesas tęsiamas tol, kol trupmeninėje dalyje gaunamas grynas nulis arba gaunamas reikiamas skaitmenų skaičius. Rašydami paryškintus skaičius (4 pav.) iš viršaus į apačią gauname reikiamą skaičių dvejetainėje sistemoje: 0. 0011011 .
Todėl galime rašyti:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Pavyzdys 8 . Išverskime skaičių 0,125 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Norint paversti skaičių 0,125 iš dešimtainio SS į dvejetainį, šis skaičius paeiliui dauginamas iš 2. Trečiajame etape gautas 0. Todėl gautas toks rezultatas:
0.125 10 =0.001 2 .
Pavyzdys 9 . Išverskime skaičių 0,214 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Vadovaudamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, gauname skaičius 3, 6, 12, 8, 11, 4. Tačiau šešioliktainėje SS skaičiai C ir B atitinka skaičius 12 ir 11. Todėl turime:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Pavyzdys 10 . Išverskime skaičių 0,512 iš dešimtainės skaičių sistemos į aštuntąją SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Gavau:
0.512 10 =0.406111 8 .
Pavyzdys 11 . Išverskime skaičių 159.125 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS. Norėdami tai padaryti, verčiame atskirai sveikąją skaičiaus dalį (4 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (8 pavyzdys). Sujungę šiuos rezultatus gauname:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Pavyzdys 12 . Išverskime skaičių 19673.214 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS. Norėdami tai padaryti, verčiame atskirai sveikąją skaičiaus dalį (6 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (9 pavyzdys). Toliau derinant šiuos rezultatus gauname.
