Арифметичні операції в різних системних числення калькулятор. Додавання двійкових чисел
Разом із цим калькулятором також використовують такі:
Переклад чисел у двійкову, шістнадцяткову, десяткову, вісімкову системи числення
Розмноження двійкових чисел
Формат представлення чисел із плаваючою комою
Приклад №1. Подати число 133,54 у формі числа з плаваючою точкою.
Рішення. Представимо число 133.54 у нормалізованому експоненційному вигляді:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 складається з двох частин: мантиси M=1.3354 та експоненти exp 10 =2
Якщо мантиса знаходиться в діапазоні 1 ≤ M Подання числа у денормалізованому експоненційному вигляді.
Якщо мантиса знаходиться в діапазоні 0,1 ≤ M Представимо число у денормалізованому експонентному вигляді: 0.13354*exp 10 3
Приклад №2. Подати двійкове число 101.10 2 в нормалізованому вигляді, записати в 32-бітовому стандарті IEEE754.
Таблиця істинності
Обчислення меж
Арифметика у двійковій системі числення
Арифметичні дії у двійковій системі виконуються так само, як і в десятковій. Але, якщо в десятковій системі числення перенесення та позику здійснюється по десять одиниць, то в двійковій - по дві одиниці. У таблиці представлені правила складання та віднімання в двійковій системі числення.- При додаванні в двійковій системі системі числення двох одиниць у даному розряді буде 0 і з'явиться перенесення одиниці у старший розряд.
- При відніманні з нуля одиниці проводиться позика одиниці зі старшого розряду, де є 1 . Одиниця, зайнята в цьому розряді, дає дві одиниці в розряді, де обчислюється дія, а також одиниці, у всіх проміжних розрядах.
Додавання чисел з урахуванням їх знаків на машині є послідовністю наступних дій:
- перетворення вихідних чисел на вказаний код;
- порозрядне складання кодів;
- аналіз одержаного результату.
При виконанні операції у додатковому (модифікованому додатковому) коді якщо в результаті додавання у знаковому розряді виникає одиниця перенесення, вона відкидається.
Операція віднімання в ЕОМ виконується через додавання за правилом: Х-У = Х + (-У). Подальші дії виконуються як і для операції складання.
Приклад №1.
Дано: х = 0,110001; y=-0,001001, скласти у зворотному модифікованому коді.
Дано: х = 0,101001; y=-0,001101, скласти у додатковому модифікованому коді. 
Приклад №2. Розв'язати приклади віднімання двійкових чисел, використовуючи метод доповнення до 1 і циклічного переносу.
а) 11 – 10.
Рішення.
Представимо числа 11 2 і -10 2 у зворотному коді.
Двійкове число 0000011 має зворотний код 0,0000011
Складемо числа 00000011 та 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
У другому розряді з'явилося переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 3-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Виникло перенесення із знакового розряду. Додамо його (тобто 1) до отриманого числа (тим самим здійснюючи процедуру циклічного перенесення).
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат складання: 00000001. Перекладемо в десяткове уявлення. Для переведення цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат додавання (у десятковому поданні): 1
б) 111-010 Представимо числа 111 2 і -010 2 у зворотному коді.
Зворотний код для позитивного числа збігається із прямим кодом. Для негативного числа всі цифри числа замінюються на протилежні (1 на 0, 0 на 1), а знаковий розряд заноситься одиниця.
Двійкове число 0000111 має зворотний код 0,0000111
Двійкове число 0000010 має зворотний код 1,1111101
Складемо числа 00000111 та 11111101
У 0-му розряді виникло переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 1-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
У 1-му розряді з'явилося переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 2-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
У другому розряді з'явилося переповнення (1 + 1 + 1 = 11). Тому записуємо 1, а 1 переносимо на 3-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
У 3-му розряді з'явилося переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 4-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
У 4-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0 а 1 переносимо на 5-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 5-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 6-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 6-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 7 розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 7-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 8-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Виникло перенесення із знакового розряду. Додамо його (тобто 1) до отриманого числа (тим самим здійснюючи процедуру циклічного перенесення).
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат додавання: 00000101
Отримали число 00000101. Для переведення цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат додавання (у десятковому поданні): 5
Додавання двійкових дійсних чисел з плаваючою комою
У комп'ютері будь-яке число може бути представлене у форматі з плаваючою точкою. Формат з плаваючою точкою показаний на малюнку:
Наприклад, число 10101 у форматі з плаваючою точкою можна записати так:
У комп'ютерах використовується нормалізована форма запису числа, у якій положення коми завжди задається перед значною цифрою мантиси, тобто. виконується умова:
b -1 ≤|M| Нормалізоване число - це число, у якого після коми йде значна цифра (тобто 1 у двійковій системі числення). Приклад нормалізації:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При додаванні чисел з плаваючою точкою вирівнювання порядків виконують у бік більшого порядку: 
Алгоритм складання чисел з плаваючою точкою:
- Вирівнювання порядків;
- Додавання мантис у додатковому модифікованому коді;
- Нормалізація результату.
Приклад №4.
A = 0,1011 * 2 10, B = 0,0001 * 2 11
1. Вирівнювання порядків;
A = 0,01011 * 2 11, B = 0,0001 * 2 11
2. Додавання мантис у додатковому модифікованому коді;
MA дод. =00,01011
MB дод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормалізація результату.
A+B=0,1101*2 10
Приклад №3. Записати десяткове число у двійково-десятковій системі числення та скласти два числа у двійковій системі числення.
Приклади переведення чисел у різні системи числення
Приклад №1
Перекладемо число 12 з десяткової до двійкової системи числення
Рішення
Переведемо число 12 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 2, доки неповне приватне не буде дорівнює нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.
| 12 | : | 2 | = | 6 | залишок: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | залишок: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | залишок: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | залишок: 1 |
12 10 = 1100 2
Приклад №2
Перекладемо число 12.3 з десяткового до двійкової системи числення
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
РішенняПерекладемо цілу частину 12 числа 12.3 10 в 2-ичную систему числення, з допомогою послідовного розподілу на 2, до того часу, поки неповне приватне нічого очікувати дорівнює нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.
| 12 | : | 2 | = | 6 | залишок: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | залишок: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | залишок: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | залишок: 1 |
12 10 = 1100 2
Перекладемо дробову частину 0.3 числа 12.3 10 в 2-ічну систему числення, за допомогою послідовного множення на 2, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число з цілих частин творів, записане зліва направо.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
Приклад №3
Перекладемо число 10011 із двійкової системи до десяткової системи числення
Рішення
Переведемо число 10011 2 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-річна. Необхідно послідовно помножити кожне число 10011 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
Приклад №4
Перекладемо число 11.101 із двійкової системи до десяткової системи числення
11.101 2 = 3.625 10
РішенняПереведемо число 11.101 2 до десяткової системи числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-річна. Необхідно послідовно помножити кожне число 11.101 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
Приклад №5
Переведемо число 1583 з десяткової системи до шістнадцяткової системи числення
1583 10 = 62F 16
РішенняПереведемо число 1583 10 в 16-ичную систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, до тих пір, поки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | залишок: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | залишок: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | залишок: 6 |
1583 10 = 62F 16
Приклад №6
Переведемо число 1583.56 з десяткової системи до шістнадцяткової системи числення
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
РішенняПереведемо цілу частину 1583 числа 1583.56 10 в 16-ичную систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | залишок: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | залишок: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | залишок: 6 |
1583 10 = 62F 16
Переведемо дробову частину 0.56 числа 1583.56 10 в 16-ичну систему числення, за допомогою послідовного множення на 16, доти, поки в дробовій частині твору не вийде нуль або не буде досягнуто необхідної кількості знаків після коми. Якщо в результаті множення ціла частина не дорівнює нулю, необхідно замінити значення цілої частини на нуль. В результаті буде отримано число з цілих частин творів, записане зліва направо.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 10 = 0.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
Приклад №7
Переведемо число A12DCF з шістнадцяткової системи до десяткової системи числення
A12DCF 16 = 10563023 10
РішенняПереведемо число A12DCF 16 в десяткову систему числення, для цього спочатку запишемо позицію кожної цифри в числі права наліво, починаючи з нуля
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 16, оскільки система 16-річна числення. Необхідно послідовно помножити кожне число A12DCF 16 на 16 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної позиції.
2
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 16, оскільки система 16-річна числення. Необхідно послідовно помножити кожне число A12DCF.12A 16 на 16 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
A 16 = 1010
D 16 = 13 10
C 16 = 1210
F 16 = 15 10
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 16
Кожна позиція цифри буде ступенем числа 2, оскільки система числення 2-річна. Необхідно послідовно помножити кожне число 1010100011 2 на 2 ступеня відповідної позиції числа і потім скласти з наступним добутком наступного числа ступеня відповідної його позиції.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Переведемо число 675 10 в 16-ічну систему числення, за допомогою послідовного поділу на 16, доки неповне приватне не буде рівним нулю. В результаті буде отримано число залишків поділу записане праворуч наліво.
| 675 | : | 16 | = | 42 | залишок: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | залишок: 10, 10 = A |
| 2 | : | 16 | = | 0 | залишок: 2 |
675 10 = 2A3 16 Призначення сервісу. Сервіс призначений для переведення чисел з однієї системи числення в іншу в онлайн режимі. Для цього виберіть основу системи, з якої потрібно перевести число. Вводити можна як цілі, так і числа з комою.
Можна вводити як цілі числа, наприклад 34 так і дробові, наприклад, 637.333 . Для дробових чисел вказується точність перекладу після коми.
Разом із цим калькулятором також використовують такі:
Способи подання чисел
Двійкові (binary) числа – кожна цифра означає значення одного біта (0 або 1), старший біт завжди пишеться ліворуч, після числа ставиться буква «b». Для зручності сприйняття зошити можуть бути розділені пробілами. Наприклад, 1010 0101b.Шістнадцяткові (hexadecimal) числа – кожен зошит представляється одним символом 0...9, А, В, ..., F. Позначатись таке уявлення може по-різному, тут використовується лише символ «h» після останньої шістнадцяткової цифри. Наприклад, A5h. У текстах програм це число може позначатися як 0хА5, і як 0A5h, залежно від синтаксису мови програмування. Незначний нуль (0) додається ліворуч від старшої шістнадцяткової цифри, що зображується літерою, щоб розрізняти числа та символічні імена.
Десяткові (decimal) числа – кожен байт (слово, подвійне слово) представляється звичайним числом, а ознака десяткового уявлення (літеру «d») зазвичай опускають. Байт із попередніх прикладів має десяткове значення 165. На відміну від двійкової та шістнадцяткової форми запису, по десятковій важко в умі визначити значення кожного біта, що іноді доводиться робити.
Восьмеричні (octal) числа – кожна трійка біт (поділ починається з молодшого) записується як цифри 0–7, наприкінці ставиться ознака «про». Те саме число буде записано як 245о. Вісімкова система незручна тим, що байт неможливо розділити порівну.
Алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Переведення цілих десяткових чисел у будь-яку іншу системи числення здійснюється розподілом числа на підставу нової системи числення доти, поки в залишку не залишиться менше підстави нової системи числення. Нове число записується як залишків розподілу, починаючи з останнього.Переведення правильного десяткового дробу в іншу ПСС здійснюється множенням тільки дробової частини числа на основу нової системи числення до тих пір, поки в дробовій частині не залишаться всі нулі або поки не буде досягнуто заданої точності перекладу. У результаті кожної операції множення формується одна цифра нового числа починаючи з старшого.
Переклад неправильного дробу здійснюється за 1 та 2 правилами. Цілу та дробову частину записують разом, відокремлюючи комою.
Приклад №1. 
Переклад з 2 до 8 до 16 системи числення.
Ці системи кратні двом, отже переклад здійснюється з використанням таблиці відповідності (див. нижче).
Для переведення числа з двійкової системи числення у восьмирічну (шістнадцяткову) необхідно від коми вправо і вліво розбити двійкове число на групи по три (чотири – для шістнадцяткового) розряду, доповнюючи за необхідності нулями крайні групи. Кожну групу замінюють відповідною восьмирічною або шістнадцятковою цифрою.
Приклад №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
тут 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1
При переведенні в шістнадцяткову систему необхідно ділити число на частини, по чотири цифри, дотримуючись тих же правил.
Приклад №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тут 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13
Переведення чисел з 2 , 8 і 16 в десяткову систему обчислення проводять шляхом розбивання числа на окремі та множення його на основу системи (з якої перекладається число) зведене до ступеня відповідного його порядкового номера в числі, що переводиться. При цьому числа нумеруються вліво від коми (перше число має номер 0) зі зростанням, а в праву сторону зі зменшенням (тобто негативним знаком). Отримані результати складаються.
Приклад №4.
Приклад переведення з двійкової до десяткової системи числення.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 +1 · 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Приклад переведення з восьмеричного до десяткової системи числення. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Приклад переведення з шістнадцяткового в десяткову систему числення. 108.5 16 = 1 · 16 2 +0 · 16 1 +8 · 16 0 + 5 · 16 -1 = 256 +0 +8 +0.3125 = 264.3125 10
Ще раз повторимо алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої ПСС
- З десяткової системи числення:
- розділити число на основу перекладеної системи числення;
- знайти залишок від розподілу цілої частини числа;
- записати всі залишки від розподілу у зворотному порядку;
- З двійкової системи числення
- Для переведення в десяткову систему числення необхідно знайти суму творів основи 2 на відповідний ступінь розряду;
- Для переведення числа у вісімкову необхідно розбити число на тріади.
Наприклад, 1000110 = 1000110 = 106 8 - Для переведення числа з двійкової системи числення до шістнадцяткової необхідно розбити число на групи по 4 розряди.
Наприклад, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблиця відповідності систем числення:
| Двійкова СС | Шістнадцяткова СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблиця для переведення у вісімкову систему числення
Приклад №2. Перевести число 100,12 з десяткової системи числення до восьмирічної системи числення і назад. Пояснити причини розбіжностей.
Рішення.
1 етап. .
Залишок від розподілу записуємо у зворотному порядку. Отримуємо число у 8-ій системі числення: 144
100 = 144 8
Для перекладу дробової частини числа послідовно множимо дробову частину основу 8. У результаті щоразу записуємо цілу частину произведения.
0.12 * 8 = 0.96 (ціла частина 0
)
0.96 * 8 = 7.68 (ціла частина 7
)
0.68 * 8 = 5.44 (ціла частина 5
)
0.44 * 8 = 3.52 (ціла частина 3
)
Отримуємо число у 8-ій системі числення: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Етап. Переведення числа з десяткової системи числення у вісімкову систему числення.
Зворотний переведення з вісімкової системи обчислень до десяткової.
Для переведення цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перекладу дробової частини необхідно розділити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Різниця в 0,0001 (100,12 - 100,1199) пояснюється похибкою округлень під час переведення у вісімкову систему численнь. Цю похибку можна зменшити, якщо взяти більше розрядів (наприклад, не 4, а 8).
Примітка:
Виконувати дії можна тільки в одній системі числення, якщо вам дано різні системи числення, спочатку переведіть усі числа в одну систему числення
Якщо ви працюєте з системою числення, основа якої більше 10 і у вас у прикладі зустрілася буква, подумки замініть її цифрою в десятковій системі, проведіть необхідні операції та переведіть результат назад у вихідну систему числення
Додавання:
Усі пам'ятають, як у початковій школі нас вчили складати стовпчиком, розряд із розрядом. Якщо при додаванні у розряді виходило число більше 9, ми вичитали з нього 10, отриманий результат записували у відповідь, а 1 додавали до наступного розряду. Із цього можна сформулювати правило:
- Складати зручніше «стовпчиком»
- Складаючи порозрядно, якщо цифра в розряді > більша за найбільшу цифру алфавіту даної Системи числення, віднімаємо з цього числа основу системи числення.
- Отриманий результат записуємо у потрібний розряд
- Додаємо одиницю до наступного розряду
Скласти 1001001110 та 100111101 у двійковій системі числення
1001001110 |
100111101 |
1110001011 |
Відповідь: 1110001011
Скласти F3B і 5A у шістнадцятковій системі числення
FE0 |
Відповідь: FE0
Віднімання: Усі пам'ятають, як у початковій школі нас вчили віднімати стовпчиком, розряд із розряду. Якщо при відніманні у розряді виходило число менше 0, ми ми «займали» одиницю зі старшого розряду і додавали до потрібної цифри 10, з нового числа вичитали потрібне. Із цього можна сформулювати правило:
Приклад:
Відняти з 1001001110 число 100111101 у двійковій системі числення
1001001110 |
100111101 |
100010001 |
Відповідь: 100010001
Відняти з F3B число 5A у шістнадцятковій системі числення
D96 |
Відповідь: D96
Найголовніше, не забувайте про те, що у вас є лише цифри даної системи числення, так само не забувайте про переходи між розрядними доданками.
Множення:
Множення в інших системах числення відбувається так само, як і ми звикли множити.
- Помножувати зручніше «стовпчиком»
- Множення в будь-якій системі числення відбувається за тими самими правилами, що й у десятковій. Але ми можемо використовувати тільки алфавіт, даний системи числення
Помножити 10111 на число 1101 у двійковій системі числення
10111 |
1101 |
10111 |
10111 |
10111 |
100101011 |
Відповідь: 100101011
Помножити F3B на число A у шістнадцятковій системі числення
F3B |
984E |
Відповідь: 984E
Відповідь: 984E
Найголовніше, не забувайте про те, що у вас є лише цифри даної системи числення, так само не забувайте про переходи між розрядними доданками.Поділ:
Поділ в інших системах числення відбувається так само, як і ми звикли ділити.
- Ділити зручніше «стовпчиком»
- Поділ у будь-якій системі числення відбувається за тими самими правилами, що й у десятковій. Але ми можемо використовувати тільки алфавіт, даний системи числення
Приклад:
Розділити 1011011 на число 1101 у двійковій системі числення
Розділити F 3 B на число 8 у шістнадцятковій системі числення
Найголовніше, не забувайте про те, що у вас є лише цифри даної системи числення, так само не забувайте про переходи між розрядними доданками.
НЕПОЗИЦІЙНІ
Непозиційні системи числення
Непозиційні системи числення з'явилися першими. У цих системах значення кожного цифрового символу завжди і залежить від його становища. Найпростішим випадком непозиційної системи є одинична, для якої для позначення чисел використовується єдиний символ, як правило це риса, іноді точка, яких завжди ставиться кількість, що відповідає числу, що позначається:
- 1 - |
- 2 - ||
- 3 - |||, і т.д.
Таким чином, цей єдиний символ має значення одиниці, З якої послідовним додаванням виходить необхідне число:
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
p align="justify"> Модифікацією одиничної системи є система з основою, в якій є символи не тільки для позначення одиниці, але і для ступенів основи. Наприклад, якщо за основу взято число 5, будуть додаткові символи для позначення 5, 25, 125 і так далі.
Прикладом такої системи з основою 10 є давньоєгипетська, що виникла в другій половині третього тисячоліття до нової ери. У цій системі були такі ієрогліфи:
- жердина - одиниці,
- дуга - десятки,
- пальмовий лист - сотні,
- квітка лотоса – тисячі.
Числа виходили простим додаванням, порядок прямування міг бути будь-яким. Так, для позначення, наприклад, числа 3815, малювали три квітки лотоса, вісім пальмових листів, одну дугу та п'ять жердин. Більш складні системи з додатковими знаками – стара грецька, римська. Римська також використовує елемент позиційної системи - велика цифра, що стоїть перед меншою, додається, менша перед більшою - віднімається: IV = 4, але VI = 6, цей метод, щоправда, застосовується виключно для позначення чисел 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000, та похідних їх складанням.
Новогрецька та давньоруська системи використовували як цифри 27 букв алфавіту, де ними позначалося кожне число від 1 до 9, а також десятки та сотні. Такий підхід забезпечив можливість записувати числа від 1 до 999 без цифр.
У староросійській системі позначення великих чисел використовувалися спеціальні обрамлення навколо цифр.
Як словесна система номерації досі практично скрізь використовується непозиційна. Словесні системи нумерації сильно прив'язані в мові, і їх загальні елементи в основному відносяться до загальних принципів і назв великих чисел (трильйон і вище). Загальні принципи, покладені основою сучасних словесних нумерацій шкодують формування позначення у вигляді складання і множення значень унікальних назв.
За допомогою цього онлайн калькулятора можна перевести цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Надається докладне рішення з поясненнями. Для перекладу введіть вихідне число, задайте основу системи числення вихідного числа, задайте основу системи числення, в яку потрібно перевести число і натисніть кнопку "Перевести". Теоретичну частину та чисельні приклади дивіться нижче.
Результат уже отримано!
Переклад цілих і дробових чисел з однієї системи числення до будь-якої іншої – теорія, приклади та рішення
Існують позиційні та не позиційні системи числення. Арабська система числення, якою ми користуємося у повсякденному житті, є позиційною, а римська – ні. У позиційних системах числення позиція числа однозначно визначає величину числа. Розглянемо це з прикладу числа 6372 у десятковому системі числення. Пронумеруємо це число праворуч наліво починаючи з нуля:
Тоді число 6372 можна представити у такому вигляді:
6372 = 6000 +300 +70 +2 = 6 · 10 3 +3 · 10 2 +7 · 10 1 +2 · 10 0 .
Число 10 визначає систему числення (у разі це 10). В якості ступенів взято значення позиції даного числа.
Розглянемо дійсне десяткове число 1287.923. Пронумеруємо його починаючи з нуля позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:
Тоді число 1287.923 можна подати у вигляді:
1287.923 = 1000 +200 +80 +7 +0.9 +0.02 +0.003 = 1 · 10 3 +2 · 10 2 +8 · 10 1 +7 · 10 0 +9 · 10 -1 +2 · 10 -2 +3 · 10-3.
У загальному випадку формулу можна подати у такому вигляді:
Ц n · s n +Ц n-1 · s n-1 +...+Ц 1 · s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
де Ц n -ціле число в позиції n, Д -k - дрібне число в позиції (-k), s- система зчислення.
Кілька слів про системи числення. Число в десятковій системі числення складається з множини цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), у вісімковій системі числення - з множини цифр (0,1, 2,3,4,5,6,7), у двійковій системі числення - з множини цифр (0,1), у шістнадцятковій системі числення - з множини цифр (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), де A,B,C,D,E,F відповідають числам 10,11,12,13,14,15.У таблиці Таб.1 представлені числа у різних системах числення.
| Таблиця 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система зчислення | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Для переведення чисел з однієї системи числення в іншу, найпростіше спочатку перевести число в десяткову систему числення, а потім з десяткової системи числення перевести в необхідну систему числення.
Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення
За допомогою формули (1) можна перевести числа з будь-якої системи числення до десяткової системи числення.
приклад 1. Переводити число 1011101.001 із двійкової системи числення (СС) до десяткової СС. Рішення:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 · 2 -3 = 64 +16 +8 +4 +1 +1 / 8 = 93.125
приклад2. Переводити число 1011101.001 з вісімкової системи числення (СС) до десяткової СС. Рішення:
приклад 3 . Переводити число AB572.CDF з шістнадцяткової системи числення до десяткової СС. Рішення:
Тут A-замінений на 10, B- на 11, C- на 12, F– на 15.
Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення
Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення потрібно переводити окремо цілу частину числа та дробову частину числа.
Цілу частину числа переводиться з десяткової СС в іншу систему числення - послідовним розподілом цілої частини числа на основу системи числення (для двійкової СС - на 2, для 8-ї СС - на 8, для 16-ї - на 16 і т.д. ) до отримання цілого залишку, менше, ніж основа СС.
приклад 4 . Перекладемо число 159 з десяткової СС до двійкової СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Як видно з Мал. 1 число 159 при розподілі на 2 дає приватне 79 і залишок 1. Далі число 79 при розподілі на 2 дає приватне 39 і залишок 1 і т.д. В результаті побудувавши число із залишків поділу (справа наліво) отримаємо число в двійковій СС: 10011111 . Отже можна записати:
159 10 =10011111 2 .
приклад 5 . Перекладемо число 615 з десяткової СС у вісімкову СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При наведенні числа з десяткової СС у вісімкову СС, потрібно послідовно ділити число на 8, поки не вийде цілий залишок менше, ніж 8. У результаті побудувавши число із залишків розподілу (справа наліво) отримаємо число у вісімковій СС: 1147 (Див. Мал. 2). Отже можна записати:
615 10 =1147 8 .
приклад 6 . Перекладемо число 19673 з десяткової системи числення до шістнадцяткової СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Як видно з малюнка Рис.3, послідовним розподілом числа 19673 на 16 отримали залишки 4, 12, 13, 9. У шістнадцятковій системі числення 12 відповідає З, 13 - D. Отже наше шістнадцяткове число - це 4CD9.
Для переведення правильних десяткових дробів (речове число з нульовою цілою частиною) в систему числення з основою s необхідно дане число послідовно помножити на s до тих пір, поки в дробовій частині не вийде чистий нуль, або не отримаємо необхідну кількість розрядів. Якщо при множенні вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, то цю цілу частину не враховувати (вони послідовно зараховуються до результату).
Розглянемо вищевикладене з прикладів.
приклад 7 . Перекладемо число 0.214 із десяткової системи числення до двійкової СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Як видно з Рис.4, число 0.214 послідовно множиться на 2. Якщо в результаті множення вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина записується окремо (ліворуч від числа), а число записується з цілою нульовою частиною. Якщо ж при множенні вийти число з цілою нульовою частиною, то ліворуч від неї записується нуль. Процес множення триває до тих пір, поки в дробовій частині не вийде чистий нуль або не отримаємо необхідну кількість розрядів. Записуючи жирні числа (Рис.4) зверху вниз отримаємо необхідне число двійковій системі числення: 0. 0011011 .
Отже можна записати:
0.214 10 =0.0011011 2 .
приклад 8 . Перекладемо число 0.125 із десяткової системи числення до двійкової СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведення числа 0.125 з десяткової СС до двійкової, це число послідовно множиться на 2. У третьому етапі вийшло 0. Отже, вийшов наступний результат:
0.125 10 =0.001 2 .
приклад 9 . Перекладемо число 0.214 із десяткової системи числення в шістнадцяткову СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Наслідуючи приклади 4 і 5 отримуємо числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Але в шістнадцятковій СС числам 12 і 11 відповідають числа C і B. Отже маємо:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
приклад 10 . Перекладемо число 0.512 із десяткової системи числення у вісімкову СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Отримали:
0.512 10 =0.406111 8 .
приклад 11 . Перекладемо число 159.125 із десяткової системи числення до двійкової СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 4) та дробову частину числа (Приклад 8). Далі поєднуючи ці результати отримаємо:
159.125 10 =10011111.001 2 .
приклад 12 . Перекладемо число 19673.214 із десяткової системи числення в шістнадцяткову СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 6) та дробову частину числа (Приклад 9). Далі поєднуючи ці результати отримаємо.
