Αριθμητικές πράξεις σε διαφορετικά συστήματα αριθμών αριθμομηχανή. Δυαδική προσθήκη
Τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται επίσης με αυτήν την αριθμομηχανή:
Μετατροπή αριθμών σε δυαδικά, δεκαεξαδικά, δεκαδικά, οκταδικά συστήματα αριθμών
Πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών
Μορφή κινητής υποδιαστολής
Παράδειγμα #1. Εκφράστε τον αριθμό 133.54 ως αριθμό κινητής υποδιαστολής.
Λύση. Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 133.54 σε κανονικοποιημένη εκθετική μορφή:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Ο αριθμός 1,3354*exp 10 2 αποτελείται από δύο μέρη: το mantissa M=1,3354 και τον εκθέτη exp 10 =2
Εάν η μάντισσα είναι στην περιοχή 1 ≤ M Αναπαριστά έναν αριθμό σε αποκανονική εκθετική μορφή.
Εάν η μάντισσα είναι στην περιοχή 0,1 ≤ M Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε αποκανονική εκθετική μορφή: 0,13354*exp 10 3
Παράδειγμα #2. Αντιπροσωπεύστε τον δυαδικό αριθμό 101.10 2 σε κανονικοποιημένη μορφή, γράψτε στο πρότυπο IEEE754 32 bit.
πίνακας αλήθειας
Υπολογισμός ορίου
Αριθμητική σε δυαδικό σύστημα
Οι αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως και στο δεκαδικό. Αλλά, εάν στο σύστημα δεκαδικών αριθμών η μεταφορά και ο δανεισμός πραγματοποιούνται κατά δέκα μονάδες, τότε σε δυαδικό - κατά δύο μονάδες. Ο πίνακας δείχνει τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση στο δυαδικό σύστημα.- Όταν προσθέτετε δύο μονάδες στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αυτό το bit θα είναι 0 και θα υπάρχει μεταφορά ενός στο υψηλότερο bit.
- Όταν αφαιρείται ένα από το μηδέν, το ένα δανείζεται από την υψηλότερη τάξη, όπου υπάρχει 1 . Μια μονάδα που καταλαμβάνεται σε αυτό το μέρος δίνει δύο μονάδες στον τόπο που υπολογίζεται η δράση, καθώς και μία, σε όλες τις ενδιάμεσες θέσεις.
Η προσθήκη αριθμών, λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια τους στο μηχάνημα, είναι μια σειρά από τις ακόλουθες ενέργειες:
- μετατροπή των αρχικών αριθμών στον καθορισμένο κωδικό.
- Bitwise προσθήκη κωδικών.
- ανάλυση του αποτελέσματος.
Όταν εκτελείτε μια λειτουργία σε έναν πρόσθετο (τροποποιημένο πρόσθετο) κωδικό, εάν ως αποτέλεσμα της προσθήκης εμφανιστεί μια μονάδα μεταφοράς στο bit πρόσημου, απορρίπτεται.
Η λειτουργία της αφαίρεσης σε έναν υπολογιστή εκτελείται μέσω πρόσθεσης σύμφωνα με τον κανόνα: Χ-Υ=Χ+(-Υ). Περαιτέρω ενέργειες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τη λειτουργία προσθήκης.
Παράδειγμα #1.
Δίνεται: x=0,110001; y= -0,001001, προσθέστε αντίστροφα τροποποιημένο κώδικα.
Δίνεται: x=0,101001; y= -0,001101, προσθέστε επιπλέον τροποποιημένο κωδικό. 
Παράδειγμα #2. Λύστε παραδείγματα δυαδικής αφαίρεσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης και αναδίπλωσης του 1.
α) 11 - 10.
Λύση.
Ας αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 11 2 και -10 2 στον αντίστροφο κωδικό.
Ο δυαδικός αριθμός 0000011 έχει κωδικό επιστροφής 0,0000011
Ας προσθέσουμε τους αριθμούς 00000011 και 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 2ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 3ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Υπήρχε μια μεταφορά από την πινακίδα. Ας το προσθέσουμε (δηλαδή 1) στον αριθμό που προκύπτει (εκτελώντας έτσι τη διαδικασία κυκλικής μεταφοράς).
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Αποτέλεσμα προσθήκης: 00000001. Μετατροπή σε δεκαδική παράσταση. Για να μεταφράσετε το ακέραιο μέρος, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το ψηφίο του αριθμού με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Αποτέλεσμα πρόσθεσης (με δεκαδικό συμβολισμό): 1
β) 111-010 Ας αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 111 2 και -010 2 στον αντίστροφο κωδικό.
Ο αντίστροφος κωδικός για έναν θετικό αριθμό είναι ο ίδιος με τον άμεσο κωδικό. Για έναν αρνητικό αριθμό, όλα τα ψηφία του αριθμού αντικαθίστανται από αντίθετα (1 έως 0, 0 έως 1) και εισάγεται ένα στο bit πρόσημου.
Ο δυαδικός αριθμός 0000111 έχει κωδικό επιστροφής 0,0000111
Ο δυαδικός αριθμός 0000010 έχει κωδικό επιστροφής 1.1111101
Ας προσθέσουμε τους αριθμούς 00000111 και 11111101
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 0ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 1ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 1ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 2ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 2ο bit (1 + 1 + 1 = 11). Επομένως, γράφουμε 1 και μεταφέρουμε το 1 στο 3ο ψηφίο.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 3ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 4ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 4ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 5ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 5ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 6ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 6ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 7ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Παρουσιάστηκε υπερχείλιση στο 7ο bit (1 + 1 = 10). Επομένως, γράφουμε 0 και μεταφέρουμε το 1 στο 8ο bit.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Υπήρχε μια μεταφορά από την πινακίδα. Ας το προσθέσουμε (δηλαδή 1) στον αριθμό που προκύπτει (εκτελώντας έτσι τη διαδικασία κυκλικής μεταφοράς).
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Αποτέλεσμα προσθήκης: 00000101
Πήραμε τον αριθμό 00000101. Για να μεταφράσουμε το ακέραιο μέρος, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το ψηφίο του αριθμού με το βαθμό του ψηφίου που αντιστοιχεί σε αυτό.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Αποτέλεσμα πρόσθεσης (με δεκαδικό συμβολισμό): 5
Πρόσθεση δυαδικών πραγματικών αριθμών κινητής υποδιαστολής
Σε έναν υπολογιστή, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Η μορφή κινητής υποδιαστολής φαίνεται στο σχήμα:
Για παράδειγμα, ο αριθμός 10101 σε μορφή κινητής υποδιαστολής μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Οι υπολογιστές χρησιμοποιούν μια κανονικοποιημένη μορφή σημειογραφίας, στην οποία η θέση του κόμματος δίνεται πάντα πριν από το σημαντικό ψηφίο της μάντισσας, δηλ. πληρούται η προϋπόθεση:
b -1 ≤|M| Κανονοποιημένος αριθμός - αυτός είναι ένας αριθμός που έχει ένα σημαντικό ψηφίο μετά την υποδιαστολή (δηλαδή 1 στο δυαδικό σύστημα αριθμών). Παράδειγμα κανονικοποίησης:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Κατά την προσθήκη αριθμών κινητής υποδιαστολής, η ευθυγράμμιση των εντολών εκτελείται προς υψηλότερη τάξη: 
Αλγόριθμος προσθήκης κινητής υποδιαστολής:
- Ευθυγράμμιση παραγγελιών.
- Προσθήκη mantissas στον πρόσθετο τροποποιημένο κωδικό.
- Κανονικοποίηση του αποτελέσματος.
Παράδειγμα #4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Ευθυγράμμιση των παραγγελιών.
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Προσθήκη μάντισσων στον πρόσθετο τροποποιημένο κωδικό.
MA προσθήκη. =00.01011
MB πρόσθετο mod. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Κανονικοποίηση του αποτελέσματος.
A+B=0,1101*2 10
Παράδειγμα #3. Γράψτε έναν δεκαδικό αριθμό με δυαδικό-δεκαδικό συμβολισμό και προσθέστε δύο αριθμούς σε δυαδικό συμβολισμό.
Παραδείγματα μετάφρασης αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αριθμών
Παράδειγμα #1
Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 12 από δεκαδικό σε δυαδικό σύστημα αριθμών
Λύση
Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 12 10 στο 2άρι αριθμητικό σύστημα, χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 2, έως ότου το ημιτελές πηλίκο είναι ίσο με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός από το υπόλοιπο τμήμα της διαίρεσης γραμμένο από δεξιά προς τα αριστερά.
| 12 | : | 2 | = | 6 | υπόλοιπο: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | υπόλοιπο: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | υπόλοιπο: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | υπόλοιπο: 1 |
12 10 = 1100 2
Παράδειγμα #2
Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 12.3 από δεκαδικό σε δυαδικό σύστημα αριθμών
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
ΛύσηΑς μεταφράσουμε το ακέραιο μέρος 12 του αριθμού 12.3 10 στο 2άρι αριθμητικό σύστημα, χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 2, έως ότου το ημιτελές πηλίκο είναι ίσο με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός από το υπόλοιπο τμήμα της διαίρεσης γραμμένο από δεξιά προς τα αριστερά.
| 12 | : | 2 | = | 6 | υπόλοιπο: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | υπόλοιπο: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | υπόλοιπο: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | υπόλοιπο: 1 |
12 10 = 1100 2
Ας μεταφράσουμε το κλασματικό μέρος 0,3 του αριθμού 12,3 10 σε ένα διψήφιο αριθμητικό σύστημα, χρησιμοποιώντας διαδοχικό πολλαπλασιασμό με το 2, έως ότου το κλασματικό μέρος του γινόμενου αποδειχθεί μηδέν ή συμπληρωθεί ο απαιτούμενος αριθμός δεκαδικών ψηφίων. Εάν, ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού, το ακέραιο μέρος δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε την τιμή του ακέραιου μέρους με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός ακέραιων τμημάτων προϊόντων, γραμμένων από αριστερά προς τα δεξιά.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
Παράδειγμα #3
Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 10011 από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
Λύση
Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 10011 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, για αυτό γράφουμε πρώτα τη θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά, ξεκινώντας από το μηδέν
Κάθε θέση του ψηφίου θα είναι δύναμη του 2, αφού το σύστημα αριθμών είναι 2άρι. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά κάθε αριθμό 10011 2 επί 2 στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του αριθμού και στη συνέχεια να τον προσθέσουμε με το επόμενο γινόμενο του επόμενου αριθμού στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
Παράδειγμα #4
Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 11.101 από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
11.101 2 = 3.625 10
ΛύσηΑς μεταφράσουμε τον αριθμό 11.101 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, για αυτό γράφουμε πρώτα τη θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό
Κάθε θέση του ψηφίου θα είναι δύναμη του 2, αφού το σύστημα αριθμών είναι 2άρι. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά κάθε αριθμό 11.101 2 επί 2 στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του αριθμού και στη συνέχεια να τον προσθέσουμε με το επόμενο γινόμενο του επόμενου αριθμού στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
Παράδειγμα #5
Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 1583 από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών
1583 10 = 62F 16
ΛύσηΑς μεταφράσουμε τον αριθμό 1583 10 στο 16άρι αριθμητικό σύστημα, χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 16, έως ότου το ημιτελές πηλίκο είναι ίσο με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός από το υπόλοιπο τμήμα της διαίρεσης γραμμένο από δεξιά προς τα αριστερά.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | υπόλοιπο: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | υπόλοιπο: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | υπόλοιπο: 6 |
1583 10 = 62F 16
Παράδειγμα #6
Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 1583,56 από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
ΛύσηΑς μεταφράσουμε το ακέραιο μέρος 1583 του αριθμού 1583.56 10 στο σύστημα 16 αριθμών, χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 16, έως ότου το ημιτελές πηλίκο είναι ίσο με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός από το υπόλοιπο τμήμα της διαίρεσης γραμμένο από δεξιά προς τα αριστερά.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | υπόλοιπο: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | υπόλοιπο: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | υπόλοιπο: 6 |
1583 10 = 62F 16
Ας μεταφράσουμε το κλασματικό μέρος 0,56 του αριθμού 1583,56 10 στο σύστημα 16 αριθμών, χρησιμοποιώντας διαδοχικό πολλαπλασιασμό με το 16, έως ότου το κλασματικό μέρος του γινομένου αποδειχθεί μηδέν ή συμπληρωθεί ο απαιτούμενος αριθμός δεκαδικών ψηφίων. Εάν, ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού, το ακέραιο μέρος δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε την τιμή του ακέραιου μέρους με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός ακέραιων τμημάτων προϊόντων, γραμμένων από αριστερά προς τα δεξιά.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36, 15=F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16, 12=C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0,56 10 = 0,8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
Παράδειγμα #7
Ας μετατρέψουμε τον αριθμό A12DCF από το δεκαεξαδικό σύστημα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών
A12DCF 16 = 10563023 10
ΛύσηΑς μετατρέψουμε τον αριθμό A12DCF 16 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, για αυτό γράφουμε πρώτα τη θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά, ξεκινώντας από το μηδέν
Κάθε θέση του ψηφίου θα είναι δύναμη 16, αφού το σύστημα αριθμών είναι το 16. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά κάθε αριθμό A12DCF 16 επί 16 στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του αριθμού και στη συνέχεια να προσθέσουμε με το επόμενο γινόμενο του επόμενου αριθμού στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του.
2
Κάθε θέση του ψηφίου θα είναι δύναμη 16, αφού το σύστημα αριθμών είναι το 16. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά κάθε αριθμό A12DCF.12A 16 επί 16 στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του αριθμού και στη συνέχεια να προσθέσουμε με το επόμενο γινόμενο του επόμενου αριθμού στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του.
Α 16 = 10 10
D16 = 13 10
C 16 = 12 10
F 16 = 15 10
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 6 - 1 ⋅
Κάθε θέση του ψηφίου θα είναι δύναμη του 2, αφού το σύστημα αριθμών είναι 2άρι. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά κάθε αριθμό 1010100011 2 επί 2 στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του αριθμού και στη συνέχεια να τον προσθέσουμε με το επόμενο γινόμενο του επόμενου αριθμού στη δύναμη της αντίστοιχης θέσης του.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 675 10 στο σύστημα των 16 αριθμών, χρησιμοποιώντας διαδοχική διαίρεση με το 16, έως ότου το μερικό πηλίκο είναι ίσο με μηδέν. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός από το υπόλοιπο τμήμα της διαίρεσης γραμμένο από δεξιά προς τα αριστερά.
| 675 | : | 16 | = | 42 | υπόλοιπο: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | υπόλοιπο: 10, 10 = Α |
| 2 | : | 16 | = | 0 | υπόλοιπο: 2 |
675 10 = 2A3 16 Ανάθεση υπηρεσίας. Η υπηρεσία έχει σχεδιαστεί για να μεταφράζει αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών στο άλλο online. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τη βάση του συστήματος από το οποίο θέλετε να μεταφράσετε τον αριθμό. Μπορείτε να εισάγετε και ακέραιους και αριθμούς με κόμμα.
Μπορείτε να εισαγάγετε είτε ακέραιους αριθμούς, όπως 34, είτε κλασματικούς αριθμούς, όπως 637.333. Για τους κλασματικούς αριθμούς, υποδεικνύεται η ακρίβεια της μετάφρασης μετά την υποδιαστολή.
Τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται επίσης με αυτήν την αριθμομηχανή:
Τρόποι αναπαράστασης αριθμών
Δυάδικος (δυαδικοί) αριθμοί - κάθε ψηφίο σημαίνει την τιμή ενός bit (0 ή 1), το πιο σημαντικό bit γράφεται πάντα στα αριστερά, το γράμμα "b" τοποθετείται μετά τον αριθμό. Για ευκολία αντίληψης, τα σημειωματάρια μπορούν να χωριστούν με κενά. Για παράδειγμα, 1010 0101b.Δεκαεξαδικό (δεκαεξαδικοί) αριθμοί - κάθε τετράδα αντιπροσωπεύεται από έναν χαρακτήρα 0...9, A, B, ..., F. Μια τέτοια αναπαράσταση μπορεί να υποδηλωθεί με διαφορετικούς τρόπους, εδώ μόνο ο χαρακτήρας "h" χρησιμοποιείται μετά τον τελευταίο δεκαεξαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, A5h. Στα κείμενα του προγράμματος, ο ίδιος αριθμός μπορεί να συμβολιστεί και ως 0xA5 και 0A5h, ανάλογα με τη σύνταξη της γλώσσας προγραμματισμού. Ένα μη σημαντικό μηδέν (0) προστίθεται στα αριστερά του πιο σημαντικού δεκαεξαδικού ψηφίου που αντιπροσωπεύεται από ένα γράμμα για τη διάκριση μεταξύ αριθμών και συμβολικών ονομάτων.
Δεκαδικά (δεκαδικοί) αριθμοί - κάθε byte (λέξη, διπλή λέξη) αντιπροσωπεύεται από έναν συνηθισμένο αριθμό και το πρόσημο της δεκαδικής αναπαράστασης (γράμμα "d") συνήθως παραλείπεται. Το byte από τα προηγούμενα παραδείγματα έχει δεκαδική τιμή 165. Σε αντίθεση με τον δυαδικό και δεκαεξαδικό συμβολισμό, το δεκαδικό είναι δύσκολο να προσδιοριστεί νοερά η τιμή κάθε bit, κάτι που μερικές φορές πρέπει να γίνει.
Οκτάεδρος (οκταδικοί) αριθμοί - κάθε τριπλό bit (ο διαχωρισμός ξεκινά από το λιγότερο σημαντικό) γράφεται ως αριθμός 0-7, στο τέλος τίθεται το σύμβολο "o". Ο ίδιος αριθμός θα γραφόταν ως 245ο. Το οκταδικό σύστημα είναι άβολο στο ότι το byte δεν μπορεί να διαιρεθεί εξίσου.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Η μετατροπή των ακεραίων δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών πραγματοποιείται με διαίρεση του αριθμού με τη βάση του νέου αριθμητικού συστήματος έως ότου το υπόλοιπο αφήσει έναν αριθμό μικρότερο από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Ο νέος αριθμός γράφεται ως το υπόλοιπο της διαίρεσης, ξεκινώντας από τον τελευταίο.Η μετατροπή του σωστού δεκαδικού κλάσματος σε άλλο PSS πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας μόνο το κλασματικό μέρος του αριθμού με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών έως ότου παραμείνουν όλα τα μηδενικά στο κλασματικό μέρος ή έως ότου επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια μετάφρασης. Ως αποτέλεσμα κάθε λειτουργίας πολλαπλασιασμού, σχηματίζεται ένα ψηφίο του νέου αριθμού, ξεκινώντας από το υψηλότερο.
Η μετάφραση ενός ακατάλληλου κλάσματος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον 1ο και τον 2ο κανόνα. Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη γράφονται μαζί, χωρίζονται με κόμμα.
Παράδειγμα #1. 
Μετάφραση από 2 έως 8 έως 16 αριθμητικό σύστημα.
Αυτά τα συστήματα είναι πολλαπλάσια των δύο, επομένως, η μετάφραση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιστοιχίας (βλ. παρακάτω).
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα δυαδικό σύστημα αριθμών σε έναν οκταδικό (δεκαεξαδικό) αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον δυαδικό αριθμό σε ομάδες των τριών (τεσσάρων για δεκαεξαδικό) ψηφία από κόμμα προς τα δεξιά και τα αριστερά, συμπληρώνοντας τις ακραίες ομάδες με μηδενικά αν είναι απαραίτητο. Κάθε ομάδα αντικαθίσταται από το αντίστοιχο οκταδικό ή δεκαεξαδικό ψηφίο.
Παράδειγμα #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
εδώ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Κατά τη μετατροπή σε δεκαεξαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε μέρη, τέσσερα ψηφία το καθένα, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες.
Παράδειγμα #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
εδώ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Η μετατροπή των αριθμών από το 2, το 8 και το 16 στο δεκαδικό σύστημα πραγματοποιείται με το σπάσιμο του αριθμού σε ξεχωριστούς και πολλαπλασιάζοντάς τον με τη βάση του συστήματος (από την οποία μεταφράζεται ο αριθμός) αυξημένη στην ισχύ που αντιστοιχεί στον τακτικό του αριθμό στον μεταφρασμένο αριθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί αριθμούνται στα αριστερά της υποδιαστολής (ο πρώτος αριθμός έχει τον αριθμό 0) με αύξηση, και στα δεξιά με φθίνουσα (δηλαδή, με αρνητικό πρόσημο). Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται αθροίζονται.
Παράδειγμα #4.
Παράδειγμα μετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από οκταδικό σε δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Για άλλη μια φορά, επαναλαμβάνουμε τον αλγόριθμο για τη μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο PSS
- Από το δεκαδικό σύστημα αριθμών:
- διαιρέστε τον αριθμό με τη βάση του συστήματος αριθμών που μεταφράζεται.
- βρείτε το υπόλοιπο αφού διαιρέσετε το ακέραιο μέρος του αριθμού.
- καταγράψτε όλα τα υπόλοιπα από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.
- Από το δυαδικό σύστημα
- Για να μετατρέψετε στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων της βάσης 2 με τον αντίστοιχο βαθμό εκφόρτισης.
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό σε οκταδικό, πρέπει να χωρίσετε τον αριθμό σε τριάδες.
Για παράδειγμα, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαεξαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε ομάδες των 4 ψηφίων.
Για παράδειγμα, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Πίνακας αντιστοιχίας αριθμητικών συστημάτων:
| Δυαδικό SS | Δεκαεξαδικό SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ΕΝΑ |
| 1011 | σι |
| 1100 | ντο |
| 1101 | ρε |
| 1110 | μι |
| 1111 | φά |
Πίνακας για μετατροπή σε οκταδικό αριθμητικό σύστημα
Παράδειγμα #2. Μετατρέψτε τον αριθμό 100,12 από δεκαδικό σε οκταδικό και αντίστροφα. Εξηγήστε τους λόγους των αποκλίσεων.
Λύση.
Στάδιο 1. .
Το υπόλοιπο της διαίρεσης γράφεται με αντίστροφη σειρά. Παίρνουμε τον αριθμό στο 8ο σύστημα αριθμών: 144
100 = 144 8
Για να μεταφράσουμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά το κλασματικό μέρος με τη βάση 8. Ως αποτέλεσμα, κάθε φορά σημειώνουμε το ακέραιο μέρος του γινομένου.
0,12*8 = 0,96 (ολόκληρο μέρος 0
)
0,96*8 = 7,68 (ολόκληρο μέρος 7
)
0,68*8 = 5,44 (ολόκληρο μέρος 5
)
0,44*8 = 3,52 (ολόκληρο μέρος 3
)
Παίρνουμε τον αριθμό στο 8ο σύστημα αριθμών: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Στάδιο 2. Μετατροπή αριθμού από δεκαδικό σε οκταδικό.
Αντίστροφη μετατροπή από οκταδικό σε δεκαδικό.
Για να μεταφράσετε το ακέραιο μέρος, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το ψηφίο του αριθμού με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Για να μεταφράσετε το κλασματικό μέρος, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το ψηφίο του αριθμού με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Η διαφορά 0,0001 (100,12 - 100,1199) οφείλεται σε σφάλμα στρογγυλοποίησης κατά τη μετατροπή σε οκταδικό. Αυτό το σφάλμα μπορεί να μειωθεί εάν πάρουμε μεγαλύτερο αριθμό ψηφίων (για παράδειγμα, όχι 4, αλλά 8).
Σημείωση:
Μπορείτε να εκτελέσετε ενέργειες μόνο σε ένα σύστημα αριθμών, εάν σας δοθούν διαφορετικά συστήματα αριθμών, πρώτα μεταφράστε όλους τους αριθμούς σε ένα σύστημα αριθμών
Εάν εργάζεστε με ένα σύστημα αριθμών του οποίου η βάση είναι μεγαλύτερη από 10 και συναντήσατε ένα γράμμα στο παράδειγμα, αντικαταστήστε το νοερά με έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα, εκτελέστε τις απαραίτητες πράξεις και μεταφράστε το αποτέλεσμα ξανά στο αρχικό σύστημα αριθμών
Πρόσθεση:
Όλοι θυμούνται πώς στο δημοτικό μας μάθαιναν να στοιβάζουμε σε μια στήλη, αποφόρτιση με αποφόρτιση. Εάν η πρόσθεση στην εκφόρτιση είχε ως αποτέλεσμα έναν αριθμό μεγαλύτερο του 9, αφαιρέσαμε το 10 από αυτό, το αποτέλεσμα καταγραφόταν στην απάντηση και 1 προστέθηκε στην επόμενη εκφόρτιση. Από αυτό μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα:
- Είναι πιο βολικό να διπλώνετε τη "στήλη"
- Προσθέτοντας σπιθαμή προς σπιθαμή, εάν το ψηφίο στο ψηφίο > είναι μεγαλύτερο από το μεγαλύτερο ψηφίο του αλφαβήτου του δεδομένου συστήματος αριθμών, αφαιρούμε τη βάση του αριθμητικού συστήματος από αυτόν τον αριθμό.
- Το αποτέλεσμα γράφεται στην επιθυμητή κατηγορία
- Προσθέστε ένα στο επόμενο ψηφίο
Προσθέστε 1001001110 και 100111101 σε δυαδικό
1001001110 |
100111101 |
1110001011 |
Απάντηση: 1110001011
Προσθέστε F3B και 5A σε δεκαεξαδικό
FE0 |
Απάντηση: FE0
Αφαίρεση: Όλοι θυμούνται πώς στο δημοτικό μας μάθαιναν να αφαιρούμε μια στήλη, μια απαλλαγή από μια εκκένωση. Εάν, κατά την αφαίρεση του ψηφίου, προέκυψε ένας αριθμός μικρότερος από το 0, τότε «δανειζόμασταν» μια μονάδα από το υψηλότερο ψηφίο και προσθέσαμε 10 στον επιθυμητό αριθμό, αφαιρέσαμε τον επιθυμητό αριθμό από τον νέο αριθμό. Από αυτό μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα:
Παράδειγμα:
Αφαιρέστε το 100111101 από το 1001001110 σε δυαδικό
1001001110 |
100111101 |
100010001 |
Απάντηση: 100010001
Αφαιρέστε το δεκαεξαδικό 5Α από το F3B
D96 |
Απάντηση: D96
Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τους αριθμούς αυτού του συστήματος αριθμών, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ όρων bit.
Πολλαπλασιασμός:
Ο πολλαπλασιασμός σε άλλα συστήματα αριθμών συμβαίνει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που τον πολλαπλασιάζαμε.
- Είναι πιο βολικό να πολλαπλασιάσετε με μια "στήλη"
- Ο πολλαπλασιασμός σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών ακολουθεί τους ίδιους κανόνες όπως στο δεκαδικό. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το αλφάβητο, δεδομένο σύστημαυπολογισμός
Πολλαπλασιάστε το 10111 με το 1101 σε δυαδικό
10111 |
1101 |
10111 |
10111 |
10111 |
100101011 |
Απάντηση: 100101011
Πολλαπλασιάστε το F3B με το Α σε δεκαεξαδικό
F3B |
984Ε |
Απάντηση: 984Ε
Απάντηση: 984Ε
Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τους αριθμούς αυτού του συστήματος αριθμών, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ όρων bit.Διαίρεση:
Η διαίρεση σε άλλα συστήματα αριθμών συμβαίνει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που έχουμε συνηθίσει να διαιρούμε.
- Είναι πιο βολικό να κάνετε κοινή χρήση σε μια "στήλη"
- Η διαίρεση σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών γίνεται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες όπως και στο δεκαδικό. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το αλφάβητο που δίνεται από το σύστημα αριθμών
Παράδειγμα:
Διαιρέστε το 1011011 με το 1101 σε δυαδικό
διαιρέστε F3 Β στον αριθμό 8 σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών
Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τους αριθμούς αυτού του συστήματος αριθμών, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ όρων bit.
ΜΗ ΘΕΣΗ
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση
Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση εμφανίστηκαν ιστορικά πρώτα. Σε αυτά τα συστήματα, η τιμή κάθε ψηφιακού συμβόλου είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη θέση του. Η απλούστερη περίπτωση ενός συστήματος χωρίς θέσεις είναι ένα μοναδικό, για το οποίο χρησιμοποιείται ένα μόνο σύμβολο για να δηλώσει αριθμούς, κατά κανόνα είναι μια γραμμή, μερικές φορές μια τελεία, της οποίας τίθεται πάντα ο αριθμός που αντιστοιχεί στον καθορισμένο αριθμό:
- 1 - |
- 2 - ||
- 3 - |||, κ.λπ.
Αυτός ο μοναδικός χαρακτήρας λοιπόν έχει σημασία μονάδες, από το οποίο προκύπτει ο απαιτούμενος αριθμός με διαδοχική πρόσθεση:
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
Μια τροποποίηση του συστήματος μονάδας είναι ένα σύστημα με βάση, στο οποίο υπάρχουν σύμβολα όχι μόνο για τον προσδιορισμό της μονάδας, αλλά και για τις μοίρες της βάσης. Για παράδειγμα, εάν ο αριθμός 5 ληφθεί ως βάση, τότε θα υπάρχουν πρόσθετοι χαρακτήρες για να υποδεικνύουν τα 5, 25, 125 και ούτω καθεξής.
Ένα παράδειγμα τέτοιου συστήματος με βάση το 10 είναι το αρχαίο αιγυπτιακό σύστημα, το οποίο προέκυψε στο δεύτερο μισό της τρίτης χιλιετίας π.Χ. Αυτό το σύστημα είχε τα ακόλουθα ιερογλυφικά:
- έξι - μονάδες,
- τόξο - δεκάδες,
- φύλλα φοίνικα - εκατοντάδες,
- λουλούδι λωτού - χιλιάδες.
Οι αριθμοί λήφθηκαν με απλή πρόσθεση, η σειρά θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε. Έτσι, για να ορίσουν, για παράδειγμα, τον αριθμό 3815, σχεδίασαν τρία άνθη λωτού, οκτώ φύλλα φοίνικα, ένα τόξο και πέντε στύλους. Πιο πολύπλοκα συστήματα με πρόσθετα σημάδια - τα παλιά ελληνικά, ρωμαϊκά. Το ρωμαϊκό χρησιμοποιεί επίσης ένα στοιχείο του συστήματος θέσης - ένας μεγάλος αριθμός μπροστά από ένα μικρότερο προστίθεται, ένας μικρότερος μπροστά από ένα μεγαλύτερο αφαιρείται: IV \u003d 4, αλλά VI \u003d 6, αυτή η μέθοδος, Ωστόσο, χρησιμοποιείται αποκλειστικά για την ένδειξη των αριθμών 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 και των παραγώγων τους με πρόσθεση.
Το σύγχρονο ελληνικό και το παλιό ρωσικό σύστημα χρησιμοποιούσαν 27 γράμματα του αλφαβήτου ως αριθμούς, όπου δήλωναν κάθε αριθμό από το 1 έως το 9, καθώς και δεκάδες και εκατοντάδες. Αυτή η προσέγγιση κατέστησε δυνατή την εγγραφή αριθμών από το 1 έως το 999 χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.
Στο παλιό ρωσικό σύστημα, ειδικά πλαίσια γύρω από τους αριθμούς χρησιμοποιήθηκαν για να ορίσουν μεγάλους αριθμούς.
Το σύστημα μη θέσεως αρίθμησης εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σχεδόν παντού ως λεκτική αρίθμηση. Τα λεκτικά συστήματα αρίθμησης συνδέονται στενά με τη γλώσσα και τα κοινά τους στοιχεία αναφέρονται κυρίως στις γενικές αρχές και τα ονόματα μεγάλων αριθμών (τρισεκατομμύρια και άνω). Οι γενικές αρχές που διέπουν τη σύγχρονη λεκτική αρίθμηση προϋποθέτουν το σχηματισμό ενός προσδιορισμού με την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό των σημασιών των μοναδικών ονομάτων.
Με αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε να μετατρέψετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Δίνεται αναλυτική λύση με επεξηγήσεις. Για να μεταφράσετε, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό, ορίστε τη βάση του συστήματος αριθμών του αρχικού αριθμού, ορίστε τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό και κάντε κλικ στο κουμπί "Μετάφραση". Δείτε το θεωρητικό μέρος και τα αριθμητικά παραδείγματα παρακάτω.
Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!
Μετάφραση ακεραίων και κλασματικών αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο - θεωρία, παραδείγματα και λύσεις
Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή είναι θέσιο, ενώ το ρωμαϊκό όχι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Σκεφτείτε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:
Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Ο αριθμός 10 ορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή είναι το 10). Οι τιμές της θέσης του δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως μοίρες.
Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Τον αριθμούμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:
Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
1287.923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
C n μικρό n + C n-1 μικρό n-1 +...+C 1 μικρό 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.
Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από ένα σύνολο ψηφίων (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από ένα σύνολο ψηφίων (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα - από το σύνολο των ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από το σύνολο των ψηφίων (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον Πίνακα 1 οι αριθμοί αναπαρίστανται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
| Τραπέζι 1 | |||
|---|---|---|---|
| Σημειογραφία | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι | 15 | 1111 | 17 | φά |
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Για να μεταφράσετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, από το δεκαδικό σύστημα αριθμών, να τον μεταφράσετε στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:
Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό SS. Λύση:
Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στα 12, φά- στα 15.
Μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών
Για να μετατρέψετε αριθμούς από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μεταφράσετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.
Το ακέραιο μέρος του αριθμού μεταφράζεται από το δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών - διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ψήφιο SS - με 8, για 16-ψήφιο - κατά 16, κ.λπ. ) για να ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλοιπο, μικρότερο από τη βάση του SS.
Παράδειγμα 4 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159, όταν διαιρείται με το 2, δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο είναι 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79, όταν διαιρείται με το 2, δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο είναι 1, και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από το υπόλοιπο της διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), παίρνουμε έναν αριθμό στο δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:
159 10 =10011111 2 .
Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από 8. Ως αποτέλεσμα, δημιουργώντας έναν αριθμό από το υπόλοιπο της διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) λάβετε έναν αριθμό σε οκταδικό SS: 1147 (βλ. Εικ. 2). Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:
615 10 =1147 8 .
Παράδειγμα 6 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, πήραμε τα υπόλοιπα 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 - D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός μας αριθμός είναι 4CD9.
Για να μετατρέψετε σωστά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, αυτός ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά με το s έως ότου το κλασματικό μέρος γίνει καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Εάν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).
Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.
Παράδειγμα 7 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.
| 0.214 | ||
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Όπως φαίνεται από το Σχήμα 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν πολλαπλασιαστεί ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται το μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται μέχρι να ληφθεί ένα καθαρό μηδέν στο κλασματικό μέρος ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα: 0. 0011011 .
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Παράδειγμα 8 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό SS.
| 0.125 | ||
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| Χ | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| Χ | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, προέκυψε το 0. Επομένως, προέκυψε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
0.125 10 =0.001 2 .
Παράδειγμα 9 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.
| 0.214 | ||
| Χ | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| Χ | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| Χ | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| Χ | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| Χ | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| Χ | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί C και B αντιστοιχούν στους αριθμούς 12 και 11. Επομένως, έχουμε:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Παράδειγμα 10 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό SS.
| 0.512 | ||
| Χ | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| Χ | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| Χ | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| Χ | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Πήρα:
0.512 10 =0.406111 8 .
Παράδειγμα 11 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα, παίρνουμε:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Παράδειγμα 12 . Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.
