Bei der Addition von Gleitkommazahlen erfolgt die Ausrichtung der Ordnungen hin zu einer höheren Ordnung:

Gleitkomma-Additionsalgorithmus:

1. Ausrichtung von Aufträgen;
2. Hinzufügung von Mantissen im zusätzlichen geänderten Code;
3. Normalisierung des Ergebnisses.

Beispiel #4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Ausrichtung der Aufträge;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Hinzufügung von Mantissen im zusätzlichen geänderten Code;
MA zus. mod. =00.01011
MB zusätzlicher Mod. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalisierung des Ergebnisses.
A+B=0,1101*2 10

Beispiel #3. Schreiben Sie eine Dezimalzahl in binär-dezimaler Schreibweise und addieren Sie zwei Zahlen in binärer Schreibweise.

Beispiele für die Übersetzung von Zahlen in verschiedene Zahlensysteme

Beispiel 1
Lassen Sie uns die Zahl 12 vom dezimalen in das binäre Zahlensystem umwandeln
Lösung

Lassen Sie uns die Zahl 12 · 10 in das 2-äre Zahlensystem umwandeln, indem wir sukzessive durch 2 dividieren, bis der unvollständige Quotient gleich Null ist. Das Ergebnis ist eine Zahl aus dem Rest der Division, die von rechts nach links geschrieben wird.

Beispiel #2
Lassen Sie uns die Zahl 12,3 vom dezimalen in das binäre Zahlensystem übersetzen

12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

Übersetzen wir den ganzzahligen Teil 12 der Zahl 12,3 · 10 in das 2-äre Zahlensystem, indem wir sukzessive durch 2 dividieren, bis der unvollständige Quotient gleich Null ist. Das Ergebnis ist eine Zahl aus dem Rest der Division, die von rechts nach links geschrieben wird.

Übersetzen wir den Bruchteil 0,3 der Zahl 12,3 · 10 in ein zweistelliges Zahlensystem, indem wir sequentiell mit 2 multiplizieren, bis sich herausstellt, dass der Bruchteil des Produkts Null ist oder die erforderliche Anzahl von Dezimalstellen erreicht ist. Wenn infolge der Multiplikation der ganzzahlige Teil ungleich Null ist, muss der Wert des ganzzahligen Teils durch Null ersetzt werden. Das Ergebnis wird eine Reihe ganzzahliger Teile von Produkten sein, die von links nach rechts geschrieben werden.

Beispiel #3
Lassen Sie uns die Zahl 10011 vom Binärsystem in das Dezimalzahlensystem umwandeln
Lösung

Übersetzen wir die Zahl 10011 2 in das dezimale Zahlensystem, dazu schreiben wir zunächst die Position jeder Ziffer in der Zahl von rechts nach links, beginnend bei Null, auf

Jede Position der Ziffer ist eine Potenz von 2, da das Zahlensystem 2-fach ist. Es ist notwendig, jede Zahl 10011 2 nacheinander mit 2 mit der Potenz der entsprechenden Position der Zahl zu multiplizieren und sie dann mit dem nachfolgenden Produkt der nächsten Zahl mit der Potenz ihrer entsprechenden Position zu addieren.

10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10

Beispiel #4
Übersetzen wir die Zahl 11,101 vom Binärsystem in das Dezimalzahlensystem

11.101 2 = 3.625 10

Übersetzen wir die Zahl 11.101 2 in das dezimale Zahlensystem, dazu notieren wir zunächst die Position jeder Ziffer in der Zahl

Jede Position der Ziffer ist eine Potenz von 2, da das Zahlensystem 2-fach ist. Es ist notwendig, jede Zahl 11.101 2 nacheinander mit 2 mit der Potenz der entsprechenden Position der Zahl zu multiplizieren und sie dann mit dem nachfolgenden Produkt der nächsten Zahl mit der Potenz ihrer entsprechenden Position zu addieren.

11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10

Beispiel Nr. 5
Lassen Sie uns die Zahl 1583 vom Dezimalsystem in das Hexadezimalsystem umwandeln

1583 10 = 62F 16

Übersetzen wir die Zahl 1583 10 in das 16-stellige Zahlensystem, indem wir sukzessive durch 16 dividieren, bis der unvollständige Quotient gleich Null ist. Das Ergebnis ist eine Zahl aus dem Rest der Division, die von rechts nach links geschrieben wird.

Beispiel #6
Übersetzen wir die Zahl 1583,56 vom Dezimalsystem in das Hexadezimalsystem

1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

Übersetzen wir den ganzzahligen Teil 1583 der Zahl 1583,56 10 in das 16er-Zahlensystem, indem wir sukzessive durch 16 dividieren, bis der unvollständige Quotient gleich Null ist. Das Ergebnis ist eine Zahl aus dem Rest der Division, die von rechts nach links geschrieben wird.

Übersetzen wir den Bruchteil 0,56 der Zahl 1583,56 10 in das 16er-Zahlensystem durch sequentielle Multiplikation mit 16, bis sich herausstellt, dass der Bruchteil des Produkts Null ist oder die erforderliche Anzahl an Dezimalstellen erreicht ist. Wenn infolge der Multiplikation der ganzzahlige Teil ungleich Null ist, muss der Wert des ganzzahligen Teils durch Null ersetzt werden. Das Ergebnis wird eine Reihe ganzzahliger Teile von Produkten sein, die von links nach rechts geschrieben werden.

Beispiel #7
Konvertieren wir die Zahl A12DCF vom Hexadezimalsystem in das Dezimalsystem

A12DCF 16 = 10563023 10

Lassen Sie uns die Zahl A12DCF 16 in das dezimale Zahlensystem umwandeln. Dazu schreiben wir zunächst die Position jeder Ziffer in der Zahl von rechts nach links auf, beginnend bei Null

Jede Stelle der Ziffer ist eine Potenz von 16, da das Zahlensystem 16 ist. Es ist notwendig, jede Zahl A12DCF 16 nacheinander mit 16 mit der Potenz der entsprechenden Position der Zahl zu multiplizieren und dann mit dem nachfolgenden Produkt der nächsten Zahl mit der Potenz ihrer entsprechenden Position zu addieren.
2

A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 16 -1

1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10

Übersetzen wir die Zahl 675 · 10 in das 16er-Zahlensystem, indem wir sukzessive durch 16 dividieren, bis der Teilquotient gleich Null ist. Das Ergebnis ist eine Zahl aus dem Rest der Division, die von rechts nach links geschrieben wird.

Sie können entweder ganze Zahlen wie 34 oder Bruchzahlen wie 637,333 eingeben. Bei Bruchzahlen wird die Genauigkeit der Umrechnung nach dem Komma angegeben.

Mit diesem Rechner werden außerdem verwendet:

Möglichkeiten, Zahlen darzustellen

Algorithmus zur Umrechnung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Beispiel 1.



Übersetzung vom Zahlensystem 2 über 8 auf 16.
Diese Systeme sind Vielfache von zwei, daher erfolgt die Übersetzung anhand der Korrespondenztabelle (siehe unten).

Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in eine oktale (hexadezimale) Zahl umzuwandeln, ist es notwendig, die Binärzahl in Gruppen von drei (vier bei hexadezimalen) Ziffern von einem Komma nach rechts und links zu unterteilen und die Extremgruppen durch Nullen zu ergänzen Falls benötigt. Jede Gruppe wird durch die entsprechende oktale oder hexadezimale Ziffer ersetzt.

Beispiel #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
hier 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Bei der Konvertierung in eine Hexadezimalzahl müssen Sie die Zahl nach den gleichen Regeln in Teile mit jeweils vier Ziffern teilen.
Beispiel #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
hier 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Die Umrechnung der Zahlen von 2, 8 und 16 in das Dezimalsystem erfolgt durch Zerlegen der Zahl in einzelne Zahlen und Multiplizieren mit der Basis des Systems (aus dem die Zahl übersetzt wird) in der Potenz, die ihrer Ordnungszahl entspricht in der übersetzten Zahl. Dabei werden die Zahlen links vom Dezimalpunkt (die erste Zahl hat die Zahl 0) aufsteigend und rechts absteigend (also mit negativem Vorzeichen) nummeriert. Die erhaltenen Ergebnisse werden addiert.

Beispiel #4.
Beispiel für die Konvertierung vom binären in das dezimale Zahlensystem.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Beispiel für die Umrechnung vom oktalen in das dezimale Zahlensystem. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Ein Beispiel für die Konvertierung vom hexadezimalen in das dezimale Zahlensystem. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Wir wiederholen noch einmal den Algorithmus zum Übersetzen von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes PSS

1. Aus dem Dezimalzahlensystem:
   • Teilen Sie die Zahl durch die Basis des zu übersetzenden Zahlensystems.
   • Finden Sie den Rest nach der Division des ganzzahligen Teils der Zahl.
   • alle Reste der Division in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben;
2. Aus dem Binärsystem
   • Um in das Dezimalzahlensystem umzurechnen, müssen Sie die Summe der Produkte der Basis 2 mit dem entsprechenden Entladungsgrad ermitteln;
   • Um eine Zahl in eine Oktalzahl umzuwandeln, müssen Sie die Zahl in Triaden aufteilen.
     Beispiel: 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Um eine Zahl von binär in hexadezimal umzuwandeln, müssen Sie die Zahl in Gruppen von 4 Ziffern aufteilen.
     Beispiel: 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabelle zur Umrechnung in das Oktalzahlensystem

Beispiel #2. Konvertieren Sie die Zahl 100,12 von der Dezimalzahl in die Oktalzahl und umgekehrt. Erläutern Sie die Gründe für die Abweichungen.
Lösung.
Bühne 1. .

Der Rest der Division wird in umgekehrter Reihenfolge geschrieben. Wir erhalten die Zahl im 8. Zahlensystem: 144
100 = 144 8

Um den Bruchteil einer Zahl zu übersetzen, multiplizieren wir den Bruchteil nacheinander mit der Basis 8. Als Ergebnis schreiben wir jedes Mal den ganzzahligen Teil des Produkts auf.
0,12*8 = 0,96 (ganzer Teil 0 )
0,96*8 = 7,68 (ganzer Teil 7 )
0,68*8 = 5,44 (ganzer Teil 5 )
0,44*8 = 3,52 (ganzer Teil 3 )
Wir erhalten die Nummer im 8. Zahlensystem: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Stufe 2. Konvertieren einer Zahl von Dezimalzahl in Oktalzahl.
Umgekehrte Konvertierung von Oktal in Dezimal.

Um den ganzzahligen Teil zu übersetzen, ist es notwendig, die Ziffer der Zahl mit dem entsprechenden Zifferngrad zu multiplizieren.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Um den Bruchteil zu übersetzen, ist es notwendig, die Ziffer der Zahl durch den entsprechenden Zifferngrad zu dividieren
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Der Unterschied von 0,0001 (100,12 – 100,1199) ist auf einen Rundungsfehler bei der Umrechnung in Oktalzahl zurückzuführen. Dieser Fehler kann reduziert werden, wenn wir eine größere Anzahl von Ziffern verwenden (z. B. nicht 4, sondern 8).

Notiz:
Sie können Aktionen nur in einem Zahlensystem ausführen. Wenn Sie verschiedene Zahlensysteme erhalten, übersetzen Sie zunächst alle Zahlen in ein Zahlensystem
Wenn Sie mit einem Zahlensystem arbeiten, dessen Basis größer als 10 ist und Sie im Beispiel auf einen Buchstaben gestoßen sind, ersetzen Sie ihn gedanklich durch eine Zahl im Dezimalsystem, führen Sie die erforderlichen Operationen durch und übersetzen Sie das Ergebnis wieder in das ursprüngliche Zahlensystem

Zusatz:
Jeder erinnert sich, wie uns in der Grundschule beigebracht wurde, uns in einer Säule zu stapeln und uns nach und nach zu entladen. Wenn die Addition in der Ziffer eine Zahl größer als 9 ergab, subtrahierten wir 10 davon, das Ergebnis wurde in der Antwort festgehalten und 1 zur nächsten Ziffer addiert. Daraus können wir eine Regel formulieren:

1. Es ist bequemer, die „Säule“ zu falten
2. Wenn die Ziffer in der Ziffer > nach und nach addiert wird und größer ist als die größte Ziffer des Alphabets des gegebenen Zahlensystems, subtrahieren wir die Basis des Zahlensystems von dieser Zahl.
3. Das Ergebnis wird in die gewünschte Kategorie geschrieben
4. Addiere eins zur nächsten Ziffer

Addieren Sie 1001001110 und 100111101 im Binärformat

Antwort: 1110001011

Addieren Sie F3B und 5A im Hexadezimalformat

Antwort: FE0

Subtraktion: Jeder erinnert sich, wie uns in der Grundschule beigebracht wurde, eine Spalte, eine Entladung, von einer Entladung zu subtrahieren. Wenn beim Subtrahieren der Ziffer eine Zahl kleiner als 0 erhalten wurde, haben wir eine Einheit von der höchsten Ziffer „geliehen“ und 10 zur gewünschten Zahl addiert und die gewünschte Zahl von der neuen Zahl subtrahiert. Daraus können wir eine Regel formulieren:

1. Subtrahieren Sie bequemer „Spalte“
2. Bitweises Subtrahieren, wenn die Ziffer in Ziffer ist< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Subtrahieren

Subtrahiere 100111101 von 1001001110 im Binärformat

Antwort: D96

Vergessen Sie vor allem nicht, dass Ihnen nur die Zahlen dieses Zahlensystems zur Verfügung stehen, vergessen Sie jedoch nicht die Übergänge zwischen Bittermen.
Multiplikation:

Die Multiplikation in anderen Zahlensystemen erfolgt genauso wie bei uns früher.

1. Es ist bequemer, mit einer „Spalte“ zu multiplizieren
2. Die Multiplikation in jedem Zahlensystem folgt den gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. Aber wir können nur das Alphabet verwenden, gegebenes System Abrechnung

Multiplizieren Sie 10111 mit 1101 im Binärformat

Antwort: 984E

Antwort: 984E

Aufteilung:

Die Division erfolgt in anderen Zahlensystemen genauso, wie wir es gewohnt sind.

1. Es ist bequemer, in einer „Spalte“ zu teilen.
2. Die Division erfolgt in jedem Zahlensystem nach den gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. Wir können jedoch nur das durch das Zahlensystem vorgegebene Alphabet verwenden

Beispiel:

Teilen Sie 1011011 binär durch 1101

Teilen F3 B bis Nummer 8 im hexadezimalen Zahlensystem

Vergessen Sie vor allem nicht, dass Ihnen nur die Zahlen dieses Zahlensystems zur Verfügung stehen, vergessen Sie jedoch nicht die Übergänge zwischen Bittermen.

NICHT POSITIONAL

Nichtpositionelle Zahlensysteme

Nicht-positionale Zahlensysteme tauchten historisch zuerst auf. In diesen Systemen ist der Wert jedes digitalen Symbols konstant und hängt nicht von seiner Position ab. Der einfachste Fall eines nichtpositionellen Systems ist ein einzelnes, bei dem ein einzelnes Symbol zur Bezeichnung von Zahlen verwendet wird, in der Regel ist es eine Linie, manchmal ein Punkt, aus dem immer die der bezeichneten Zahl entsprechende Zahl gesetzt wird:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| usw.

Dieser einzelne Charakter ist also wichtig Einheiten, woraus man durch sukzessive Addition die benötigte Zahl erhält:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Eine Abwandlung des Einheitensystems ist ein System mit einer Basis, bei dem es nicht nur Symbole zur Bezeichnung der Einheit, sondern auch für die Grade der Basis gibt. Wenn beispielsweise die Zahl 5 als Basis verwendet wird, gibt es zusätzliche Zeichen, die 5, 25, 125 usw. angeben.

Ein Beispiel für ein solches System mit der Basis 10 ist das altägyptische System, das in der zweiten Hälfte des dritten Jahrtausends v. Chr. entstand. Dieses System hatte die folgenden Hieroglyphen:

• sechs - Einheiten,
• Bogen - Zehner,
• Palmblatt - Hunderte,
• Lotusblume - Tausende.

Die Zahlen wurden durch einfache Addition erhalten, die Reihenfolge konnte beliebig sein. Um beispielsweise die Zahl 3815 zu bezeichnen, zeichneten sie drei Lotusblüten, acht Palmblätter, einen Bogen und fünf Stangen. Komplexere Systeme mit zusätzlichen Zeichen - altgriechisch, römisch. Auch das römische verwendet ein Element des Stellungssystems – eine große Zahl vor einer kleineren wird addiert, eine kleinere vor einer größeren subtrahiert: IV = 4, aber VI = 6, diese Methode, wird jedoch ausschließlich zur Angabe der Zahlen 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 und ihrer Ableitungen durch Addition verwendet.

Das moderne griechische und das altrussische System verwendeten 27 Buchstaben des Alphabets als Zahlen, wobei sie jede Zahl von 1 bis 9 sowie Zehner und Hunderter bezeichneten. Dieser Ansatz ermöglichte das Schreiben von Zahlen von 1 bis 999 ohne wiederholte Ziffern.

Im alten russischen System wurden zur Bezeichnung großer Zahlen spezielle Rahmen um die Zahlen verwendet.

Das nichtpositionale Nummerierungssystem wird immer noch fast überall als verbales Nummerierungssystem verwendet. Verbale Nummerierungssysteme sind stark an die Sprache gebunden und ihre gemeinsamen Elemente beziehen sich hauptsächlich auf die allgemeinen Prinzipien und Namen großer Zahlen (Billionen und mehr). Die allgemeinen Prinzipien der modernen verbalen Nummerierung setzen die Bildung einer Bezeichnung durch Addition und Multiplikation der Bedeutungen eindeutiger Namen voraus.

Mit diesem Online-Rechner können Sie ganze und gebrochene Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umrechnen. Eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen wird gegeben. Geben Sie zum Übersetzen die ursprüngliche Zahl ein, legen Sie die Basis des Zahlensystems der ursprünglichen Zahl fest, legen Sie die Basis des Zahlensystems fest, in das Sie die Zahl umwandeln möchten, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Übersetzen“. Siehe den theoretischen Teil und die numerischen Beispiele unten.

Das Ergebnis liegt bereits vor!

Übersetzung ganzer und gebrochener Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes – Theorie, Beispiele und Lösungen

Es gibt positionelle und nicht-positionelle Zahlensysteme. Das arabische Zahlensystem, das wir im Alltag verwenden, ist positionell, das römische hingegen nicht. In Positionszahlensystemen bestimmt die Position einer Zahl eindeutig die Größe der Zahl. Betrachten Sie dies am Beispiel der Zahl 6372 im Dezimalzahlensystem. Nummerieren wir diese Zahl von rechts nach links, beginnend bei Null:

Dann lässt sich die Zahl 6372 wie folgt darstellen:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Die Zahl 10 definiert das Zahlensystem (in diesem Fall ist es 10). Die Werte der Position der angegebenen Zahl werden in Grad angenommen.

Betrachten Sie die echte Dezimalzahl 1287,923. Wir nummerieren es ausgehend von der Nullstelle der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und nach rechts:

Dann kann die Zahl 1287.923 dargestellt werden als:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

Im Allgemeinen lässt sich die Formel wie folgt darstellen:

C n S n + C n-1 S n-1 +...+C 1 S 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

wobei C n eine ganze Zahl in der Position ist N, D -k - Bruchzahl in Position (-k), S- Zahlensystem.

Ein paar Worte zu Zahlensystemen. Eine Zahl besteht im dezimalen Zahlensystem aus einer Reihe von Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), im oktalen Zahlensystem aus eine Ziffernmenge (0,1, 2,3,4,5,6,7), im Binärsystem - aus der Ziffernmenge (0,1), im hexadezimalen Zahlensystem - aus der Ziffernmenge (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), wobei A,B,C,D,E,F den Zahlen 10,11 entsprechen, 12,13,14,15. In Tabelle 1 werden Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen dargestellt.

Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes zu übersetzen, ist es am einfachsten, die Zahl zunächst in das Dezimalzahlensystem umzuwandeln und sie dann vom Dezimalzahlensystem in das gewünschte Zahlensystem zu übersetzen.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in ein dezimales Zahlensystem

Mit der Formel (1) können Sie Zahlen aus jedem beliebigen Zahlensystem in das dezimale Zahlensystem umrechnen.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Binärzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Beispiel2. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Oktalzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

Beispiel 3 . Konvertieren Sie die Zahl AB572.CDF von hexadezimal in dezimal SS. Lösung:

Hier A-ersetzt durch 10, B- um 11, C- um 12, F- mit 15.

Konvertieren von Zahlen aus einem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem

Um Zahlen von einem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Zahl und den Bruchteil der Zahl getrennt übersetzen.

Der ganzzahlige Teil der Zahl wird vom dezimalen SS in ein anderes Zahlensystem übersetzt – durch sukzessives Teilen des ganzzahligen Teils der Zahl durch die Basis des Zahlensystems (für binäres SS – durch 2, für 8-stelliges SS – durch 8, für 16-stellig - durch 16 usw. ), um einen ganzen Rest zu erhalten, der kleiner als die Basis der SS ist.

Beispiel 4 . Lassen Sie uns die Zahl 159 von der dezimalen SS in die binäre SS übersetzen:

Wie aus Abb. ersichtlich ist. In 1 ergibt die Zahl 159, wenn sie durch 2 geteilt wird, den Quotienten 79 und der Rest ist 1. Außerdem ergibt die Zahl 79, wenn sie durch 2 geteilt wird, den Quotienten 39 und der Rest ist 1 und so weiter. Als Ergebnis erhalten wir durch die Bildung einer Zahl aus dem Rest der Division (von rechts nach links) eine Zahl im binären SS-Format: 10011111 . Deshalb können wir schreiben:

159 10 =10011111 2 .

Beispiel 5 . Lassen Sie uns die Zahl 615 von der Dezimal-SS in die Oktal-SS umwandeln.

Wenn Sie eine Zahl von der dezimalen SS in die oktale SS umwandeln, müssen Sie die Zahl der Reihe nach durch 8 dividieren, bis Sie einen ganzzahligen Rest kleiner als 8 erhalten. Infolgedessen bilden wir eine Zahl aus dem Rest der Division (von rechts nach links). Holen Sie sich eine Zahl in oktaler SS: 1147 (siehe Abb. 2). Deshalb können wir schreiben:

615 10 =1147 8 .

Beispiel 6 . Übersetzen wir die Zahl 19673 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS.

Wie aus Abbildung 3 ersichtlich ist, erhalten wir durch sukzessives Teilen der Zahl 19673 durch 16 die Reste 4, 12, 13, 9. Im hexadezimalen Zahlensystem entspricht die Zahl 12 C, die Zahl 13 - D. Daher gilt unsere hexadezimale Zahl ist 4CD9.

Um korrekte Dezimalbrüche (eine reelle Zahl mit einem ganzzahligen Teil Null) in ein Zahlensystem mit der Basis s umzuwandeln, muss diese Zahl nacheinander mit s multipliziert werden, bis der Bruchteil reine Null ist, oder wir die erforderliche Anzahl von Ziffern erhalten. Ergibt die Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null, so wird dieser ganzzahlige Teil nicht berücksichtigt (er wird nacheinander in das Ergebnis einbezogen).

Schauen wir uns das Obige anhand von Beispielen an.

Beispiel 7 . Lassen Sie uns die Zahl 0,214 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS übersetzen.

Wie aus Abb. 4 ersichtlich ist, wird die Zahl 0,214 sukzessive mit 2 multipliziert. Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null ist, wird der ganzzahlige Teil separat geschrieben (links von der Zahl). und die Zahl wird mit einem ganzzahligen Teil von Null geschrieben. Wenn bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil Null erhalten wird, wird links davon eine Null geschrieben. Der Multiplikationsprozess wird fortgesetzt, bis im Bruchteil eine reine Null oder die erforderliche Anzahl von Ziffern erhalten wird. Wenn wir die fett gedruckten Zahlen (Abb. 4) von oben nach unten schreiben, erhalten wir die gewünschte Zahl im Binärsystem: 0. 0011011 .

Deshalb können wir schreiben:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Beispiel 8 . Übersetzen wir die Zahl 0,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS.

Um die Zahl 0,125 von der dezimalen SS in die binäre Zahl umzuwandeln, wird diese Zahl sukzessive mit 2 multipliziert. In der dritten Stufe wurde 0 erhalten. Daher wurde das folgende Ergebnis erhalten:

0.125 10 =0.001 2 .

Beispiel 9 . Übersetzen wir die Zahl 0,214 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS.

Nach den Beispielen 4 und 5 erhalten wir die Zahlen 3, 6, 12, 8, 11, 4. Aber im hexadezimalen SS entsprechen die Zahlen C und B den Zahlen 12 und 11. Daher haben wir:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Beispiel 10 . Übersetzen wir die Zahl 0,512 vom dezimalen Zahlensystem in das oktale SS.

Bekommen:

0.512 10 =0.406111 8 .

Beispiel 11 . Lassen Sie uns die Zahl 159,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS übersetzen. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 4) und den gebrochenen Teil der Zahl (Beispiel 8). Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, erhalten wir:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Beispiel 12 . Übersetzen wir die Zahl 19673,214 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 6) und den gebrochenen Teil der Zahl (Beispiel 9). Wenn wir diese Ergebnisse weiter kombinieren, erhalten wir.