Definicija funkcije. Što je matematička funkcija Funkcije povezane s dijeljenjem

Excel ima funkciju za pronalaženje slučajnih brojeva =RAND(). Prilika za pronalaženje slučajni broj u Excel-u, važna komponenta planiranja ili analize, jer možete predvidjeti rezultate vašeg modela na velikoj količini podataka ili jednostavno pronaći jedan slučajni broj da biste testirali svoju formulu ili iskustvo.

Nastavljamo seriju članaka o matematičkim formulama u Excelu. Danas ćemo analizirati formulu za pisanje “modula u Excelu”. Modul broja se koristi za određivanje apsolutne vrijednosti broja, na primjer dužine segmenta. U nastavku dajemo nekoliko načina za izračunavanje modula broja u Excelu, glavna funkcija je ABS, a dodatna izračunavanja pomoću funkcija IF i SQRT.

Malo smo se dotakli teme eksponenata u članku o zaokruživanju velikih brojeva. U ovom članku ćemo raspravljati o tome što je eksponent u Excelu i, najvažnije, zašto može biti koristan u svakodnevnom životu ili u poslu.

Trebate li svakom broju u Excelu dodijeliti broj kako biste ih mogli sortirati po tom broju? Možete smisliti složene konstrukcije za tekstualne podatke, ali za numeričke podatke postoji posebna funkcija RANK u Excelu. Klasificira se kao statička funkcija i može biti vrlo korisna. U članku govorimo i o novim funkcijama iz Excel 2010 RANK.CP() […]

Nastavljamo sa pregledom matematičkih funkcija i mogućnosti. Danas gledamo najjednostavniju formulu - diplomu u Excelu. Podizanje na stepen (korijen) pomoću funkcije ili jednostavnog zapisa, negativan stepen. Kako lijepo zapisati diplomu će također biti ovdje. Sve je u principu jednostavno, ali to ne znači da ne morate pisati članak o tome. Štaviše, jedan veliki članak koji pokriva sve [...]

Shvatio sam da na našoj web stranici ima vrlo malo opisa matematičkih funkcija. Iako ih u Excelu ima jako puno. Postoji opis PDV-a, sve vrste štampanih dokumenata i obrazaca. Ali gotovo da nema opisa osnova uređivača proračunskih tablica - matematičkih funkcija. „Moramo da popravimo ovaj jaz“, pomislio sam. To je ono što ja radim. Prije svega faktorijal. Zašto? Baš sam neki dan radio [...]

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete zahtjev na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Menadžment je važan dio savremenog društveno-ekonomskog sistema. Karakteriše ga uticaj subjekta u menadžmentu na objekat upravljanja. Jednostavno rečeno, menadžment je menadžment.

Procesi koji su na ovaj ili onaj način neraskidivo povezani sa menadžmentom obično se odvijaju u preduzeću na osnovu takozvane funkcionalne distribucije. Suština aktivnosti upravljanja i pružanje upravljačkih funkcija

Glavne funkcije

Danas su najvažnije funkcije menadžmenta planiranje, organizovanje, motivisanje, koordinacija i kontrola.

Ranije su u Rusiji funkcije upravljanja bile nešto drugačije i uključivale su koncepte kao što su kontrola, regulacija, stimulacija, koordinacija, organizacija i planiranje.

Također je vrijedno istaknuti verziju koju su predstavili američki naučnici Michael Meskon, Michael Albert i Franklin Khedouri.

Čak su identifikovali samo četiri funkcije menadžmenta: planiranje, organizacija, motivacija, kontrola.

Navedene funkcije upravljanja nekako su vezane za procese donošenja odluka i komunikaciju, odnosno komunikaciju.

Danas se najčešće razmatra opcija još šire liste upravljačkih funkcija.

Prva stvar koju treba da uradite je da postavite cilj. (Da biste to učinili, morate odgovoriti na pitanje „Šta želim?“).
Sljedeća faza je planiranje. Planiranje se sastoji od korak po korak opisa koraka koji su neophodni za postizanje određenog cilja.
Ne treba zaboraviti ni marketing. Da biste to učinili, potrebno je odgovoriti na pitanja poput „Šta imam i šta mi od toga može pomoći ili ometi na putu ka ostvarenju cilja?“
Problem takođe treba rešiti sa organizacijom. Da biste to učinili, morate odgovoriti na pitanja „Gdje i šta se nalazi i kako sve to najbolje povezati?“
Nove informacije. („Koja postignuća možete iskoristiti da što prije postignete svoj cilj?“)
Pitanje poticaja u nekim slučajevima igra odlučujuću ulogu. Da bi se na njega odgovorilo, treba postaviti pitanje: „Šta je potrebno učiniti da izvođači tačno ispune sve uslove koje sam propisao?“ Međutim, treba imati na umu da stimulacija nije motivacija, jer je motivacija čitav skup različitih unutrašnjih motiva za pojedinu osobu.
Ne smijemo zaboraviti na pitanje koordinacije. Koordinacija predstavlja rezultate pojedinačnih izvođača, koji moraju dati jedan ili drugi ukupni rezultat. Također je poželjno da nema dodatnih modifikacija.
Ne treba zaboraviti ni pitanje kontrole. “Da li sve ide tačno kako je planirano?”).
Analiza i računovodstvo. (Pitanja: „Šta se na kraju dogodilo?“ + „Da li je cilj postignut?“ + „Šta je omelo, a šta je, naprotiv, pomoglo?“ i mnoga druga).

Najvažnija funkcija u menadžmentu je funkcija planiranja.

Šta je to i za šta je potrebno? Realizacijom ove funkcije preduzetnik, na osnovu dobijene analize, može formulisati određene planove ili programe. Sam proces planiranja može vam omogućiti da mnogo jasnije formulirate cilj.

Nakon toga možete pokušati iskoristiti dobijene rezultate kako biste osigurali bolju koordinaciju napora svih strukturnih odjela Vaše kompanije. To znači da je planiranje jedan od kontinuiranih procesa istraživanja novih mogućnosti i metoda za unapređenje poslovanja kompanije zbog činjenice da je menadžer u stanju da identifikuje niz novih mogućnosti i faktora u svojim aktivnostima.

Iz ovoga proizilazi da planovi organizacije neće biti preskriptivne prirode. Štaviše, oni će se mijenjati samo u skladu s određenom situacijom.

Funkcija organizacije neophodna za formiranje strukture kompanije. Osim toga, potreban je kako bi mu se obezbijedilo sve što je potrebno, na primjer, financijska sredstva. U planu koji organizacija sastavlja je stvaranje uslova za postizanje planiranog cilja.

Funkcija motivacije omogućava vam da aktivirate zaposlene u kompaniji da rade bolje i efikasnije. To će poboljšati produktivnost cijele kompanije. Najjednostavniji način motivacije zaposlenih je davanje posebnih novčanih bonusa za postizanje određenih ciljeva.

Kontrolna funkcija neophodna za postizanje ciljeva kompanije. Važno je shvatiti da kontrola mora biti sveobuhvatna, inače od nje praktično neće biti koristi.

Funkcija koordinacije je uspostavljanje interakcije između različitih struktura organizacije kako bi se poboljšala efikasnost cijele kompanije.

Funkcija- jedan od najvažnijih pojmova matematike, početni koncept njene vodeće oblasti - matematičke analize. Školski predmeti matematike se fokusiraju na numeričke funkcije. Razlog tome je bliska povezanost matematike sa prirodnim naukama, posebno sa fizikom, za koju numeričke funkcije služe kao sredstvo za kvantitativno opisivanje različitih zavisnosti između veličina.

U početnom kursu matematike, pojam funkcije i svega što je s njim povezano nije eksplicitno proučavan, ali ideja funkcionalne zavisnosti doslovno ga prožima, a ispravno razumijevanje takvih svojstava stvarnih pojava kao što su međuzavisnost i promjenjivost je osnova. naučnog pogleda na svet. Naravno, sve to od učitelja osnovne škole zahtijeva određena znanja o funkciji i njenim svojstvima, a prije svega takva znanja koja će mu pomoći da u osnovnoj školi provede propedeutiku pojma funkcije.

44. Koncept funkcije. Metode za specificiranje funkcija

Hajde da uradimo dva zadatka za mlađe školarce.

1) Svaki neparan jednocifreni broj povećajte 2 puta.

2) Popunite tabelu.

Minuend
Subtrahend
Razlika

Kojim matematičkim pojmovima se bavimo u ovim zadacima?

Prije svega, u svakom zadatku postoje dva numerička skupa, između čijih elemenata se uspostavlja korespondencija. U prvom su to skupovi (1, 3, 5, 7) i (2, 6, 10, 14), a u drugom je to skup vrijednosti oduzimanja (0,1,2 , 3,4, 5) i skup vrijednosti razlike (5, 4, 3, 2, 1, 0). Koja je sličnost između korespondencija uspostavljenih između ovih skupova? I u prvom i u drugom zadatku, svaki broj iz prvog skupa povezan je s jednim brojem iz drugog. U matematici se takve korespondencije nazivaju funkcije. Općenito, koncept numeričke funkcije definira se na sljedeći način:

Definicija. Numerička funkcija je korespondencija između numeričkog skupa X i skupa R realnih brojeva, u kojoj je svaki broj iz skupa X povezan s jednim brojem iz skupa R.

Skup X se zove domenu definicije funkcije.

Funkcije se obično označavaju slovima f, g, h, itd. Ako je f funkcija definirana na skupu X, tada se pravi broj y koji odgovara broju x iz skupa X često označava sa f(x) i piše y= f(x). Varijabla x se poziva argument (ili nezavisna varijabla) funkcije f. Poziva se skup brojeva oblika f(x) za sve x iz skupa X opseg funkcija f.

U prvom primjeru o kojem smo gore govorili, funkcija je definirana na skupu X = (1, 3, 5, 7) - ovo je njena domena definicije. A raspon vrijednosti ove funkcije je skup (2,6,10,14).

Iz definicije funkcije slijedi da je za specificiranje funkcije potrebno naznačiti, prije svega, numerički skup X, tj. domenu definicije funkcije, i, drugo, pravilo prema kojem svaki broj iz skupa X odgovara jedinstvenom realnom broju.

Često se funkcije specificiraju pomoću formula koje pokazuju kako pronaći odgovarajuću vrijednost funkcije iz date vrijednosti argumenta. Na primjer, formule y = 2x-3, y = x 2, y = 3x, gdje je x realan broj, definiraju funkcije, jer svaka realna vrijednost x može biti povezana s jednom vrijednošću y izvođenjem radnji navedenih u formula.

Imajte na umu da koristeći istu formulu možete specificirati onoliko funkcija koliko želite, koje će se razlikovati jedna od druge u svojoj domeni definicije. Na primjer, funkcija y = 2x-3, gdje je x R, razlikuje se od funkcije y = 2x-3, gdje je x N. Zaista, kod x = -5 vrijednost prve funkcije je -13, a vrijednost drugog na x = -5 je nedefinisano.

Često, kada se specificira funkcija pomoću formule, njena domena nije navedena. U takvim slučajevima se smatra da je domen definicije funkcije f(x) domen definicije izraza f(x). Na primjer, ako je funkcija data formulom y = 2x-3, tada se njeno područje definicije smatra skupom R realnih brojeva. Ako je funkcija data formulom y =, tada je njen domen definicije skup R realnih brojeva, isključujući broj 2 (ako je x = 2, nazivnik ovog razlomka postaje nula).

Numeričke funkcije se mogu vizualno prikazati na koordinatnoj ravni. Neka je y = f(x) funkcija s domenom X. Tada je njena raspored je skup tačaka u koordinatnoj ravni koje imaju apscisu x i ordinatu f(x) za sve x iz skupa X.

Dakle, grafik funkcije y = 2x-3, definisane na skupu R, je prava linija (slika 1), a graf funkcije y = x 2, takođe definisane na skupu R, je parabola (Sl. 2).

Sl.1 Sl.2

Funkcije se mogu specificirati pomoću grafa. Na primjer, grafovi prikazani na slici 3 definiraju funkcije, od kojih jedna ima interval [-2, 3] kao domenu definicije, a druga ima konačan skup (-2, -1,0, 1, 2, 3).

Ne predstavlja svaki skup tačaka na koordinatnoj ravni graf neke funkcije. Budući da za svaku vrijednost argumenta iz domene definicije funkcija mora imati samo jednu vrijednost, tada bilo koja ravna linija paralelna s ordinatnom osom ili uopće ne siječe graf funkcije, ili je siječe samo u jednoj tački. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada skup tačaka na koordinatnoj ravni ne definira graf funkcije. Na primjer, kriva na slici 4 nije grafik funkcije - prava AB, paralelna sa ordinatnom osom, siječe je u dvije tačke. Funkcije se mogu specificirati pomoću tabele.

Na primjer, donja tabela opisuje ovisnost temperature zraka od doba dana. Ova zavisnost je funkcija, jer svaka vremenska vrijednost t odgovara jednoj vrijednosti temperature zraka p?;

Numeričke funkcije imaju mnoga svojstva. Razmotrit ćemo jedno od njih - svojstvo monotonosti, budući da je razumijevanje ove osobine od strane nastavnika važno pri podučavanju matematike učenicima osnovnih škola.

Definicija. Funkcija f se naziva monotonom na određenom intervalu A ako se povećava ili smanjuje na tom intervalu.

Definicija. Kaže se da funkcija f raste na određenom intervalu A ako je za bilo koje brojeve x 1, x 2 iz skupa A ispunjen sljedeći uvjet:

x 1<х 2 f(x 1)

Graf funkcije koja raste u intervalu A ima posebnost: pri kretanju duž ose apscise s lijeva na desno duž intervala A, ordinate tačaka grafa rastu (slika 5).

Rice. 5 Sl.6

Definicija. Kaže se da je funkcija f opadajuća na određenom intervalu A ako je za bilo koje brojeve x1, x2 iz skupa A ispunjen sljedeći uvjet:

x 1<х 2 f(x 1)>f(x 2).

Graf funkcije koja se smanjuje na intervalu A ima posebnost: pri kretanju duž ose apscise s lijeva na desno duž intervala A, ordinate tačaka grafa se smanjuju (slika 6).

Koncept funkcije- jedan od glavnih u matematici.

Ovu riječ često čujete na časovima matematike. Gradite grafove funkcija, proučavate funkciju, pronalazite najveću ili najmanju vrijednost funkcije. Ali da bismo razumjeli sve ove radnje, hajde da definiramo što je funkcija.

Funkcija se može definirati na nekoliko načina. Svi će se međusobno nadopunjavati.

1. Funkcija je zavisnost jedne varijable od druge. Drugim riječima, odnos između količina.

Svaki fizički zakon, bilo koja formula odražava takav odnos između veličina. Na primjer, formula je ovisnost tlaka tekućine o dubini.

Što je dubina veća, to je veći pritisak tečnosti. Možemo reći da je pritisak fluida funkcija dubine na kojoj se mjeri.

Oznaka koja vam je poznata precizno izražava ideju o takvoj zavisnosti jedne veličine od druge. Vrijednost y ovisi o vrijednosti prema određenom zakonu, ili pravilu, označenom sa .

Drugim riječima: mijenjamo (nezavisnu varijablu, ili argument) – i po određenom pravilu se mijenja.

Nije potrebno označiti varijable i . Na primjer, ovisnost dužine o temperaturi, odnosno zakon toplinskog širenja. Sama notacija znači da vrijednost ovisi o .

2. Može se dati još jedna definicija.

Funkcija je specifična akcija preko varijable.

To znači da uzmemo vrijednost, izvršimo određenu radnju s njom (na primjer, kvadriramo je ili izračunamo njen logaritam) - i dobijemo vrijednost.

U tehničkoj literaturi postoji definicija funkcije kao uređaja čiji se ulaz napaja, a izlaz se dobija.

Dakle, funkcija je akcija preko varijable. U tom značenju, riječ “funkcija” se također koristi u područjima koja su daleko od matematike. Na primjer, možete govoriti o funkcijama mobilnog telefona, funkcijama mozga ili funkcijama zamjenika. U svim ovim slučajevima govorimo o radnjama koje se izvode.

3. Dajemo još jednu definiciju funkcije – onu koja se najčešće nalazi u udžbenicima.

Funkcija je korespondencija između dva skupa, pri čemu svaki element prvog skupa odgovara jednom i samo jednom elementu drugog skupa.

Na primjer, funkcija svakom realnom broju dodjeljuje broj dvostruko veći od .

Ponovimo još jednom: svakom elementu skupa, prema određenom pravilu, pridružujemo element skupa. Skup se zove domenu funkcije. Gomila - raspon vrijednosti.

Ali zašto je ovdje tako dugo pojašnjenje: “svaki element prvog skupa odgovara jednom i samo jednom elementu drugog”? Ispada da su korespondencije između skupova također različite.

Razmotrimo, kao primjer, korespondenciju između dva skupa — ruskih državljana koji imaju pasoše i njihovih brojeva pasoša. Jasno je da je ova prepiska jedan na jedan - svaki građanin ima samo jedan ruski pasoš. I obrnuto - osobu možete pronaći po broju pasoša.

U matematici postoje i takve funkcije jedan na jedan. Na primjer, linearna funkcija. Svaka vrijednost odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti. I obrnuto - znajući, sigurno možete naći.

Mogu postojati i druge vrste korespondencije između skupova. Uzmimo za primjer grupu prijatelja i mjesece u kojima su rođeni:

Svaka osoba je rođena u određenom mjesecu. Ali ova prepiska nije jedan na jedan. Na primjer, Sergej i Oleg rođeni su u junu.

Primjer takve korespondencije u matematici je funkcija. Jedan te isti element drugog skupa odgovara dvama različitim elementima prvog skupa: i .

Kolika bi trebala biti korespondencija između dva skupa da ne bude funkcija? Veoma jednostavno! Uzmimo istu grupu prijatelja i njihove hobije:

Vidimo da u prvom skupu postoje elementi koji odgovaraju dva ili tri elementa iz drugog skupa.

Bilo bi vrlo teško matematički opisati takvu korespondenciju, zar ne?

Evo još jednog primjera. Na slikama se vide obline. Šta mislite koji je graf funkcije, a koji nije?

Odgovor je očigledan. Prva kriva je graf neke funkcije, a druga nije. Na kraju krajeva, na njemu postoje tačke u kojima svaka vrijednost odgovara ne jednoj, već tri vrijednosti.

Hajde da navedemo načina da se specificira funkcija.

1 . Korištenje formule. Ovo nam je zgodan i poznat način. Na primjer:

Ovo su primjeri funkcija datih formulama.

2. Grafička metoda. To je najvizuelnije. Grafikon prikazuje sve odjednom - povećanje i smanjenje funkcije, najviše i najniže vrijednosti, maksimalne i minimalne točke. Sljedeći članak će govoriti o proučavanju funkcije pomoću grafa.

Osim toga, nije uvijek lako izvesti tačnu formulu funkcije. Na primjer, kurs dolara (tj. ovisnost vrijednosti dolara o vremenu) može se prikazati samo na grafikonu.

3. Koristeći sto. Jednom ste ovom metodom počeli proučavati temu “Funkcija” - napravili ste tabelu i tek nakon toga - graf. A u eksperimentalnom proučavanju bilo kojeg novog uzorka, kada ni formula ni graf još nisu poznati, ova metoda će biti jedina moguća.

4 . Koristeći opis. Dešava se da je u različitim područjima funkcija data različitim formulama. Funkcija koju poznajete data je opisom.